Sistem jednačina: desne strane 19 i 7 puta (x - y)

Posmatramo prvu jednačinu sistema. Kvadriramo izraz na desnoj strani i prebacimo sve članove na levu stranu.

\begin{aligned} x^2 + xy + y^2 &= 19(x^2 - 2xy + y^2) \\ x^2 + xy + y^2 &= 19x^2 - 38xy + 19y^2 \\ 18x^2 - 39xy + 18y^2 &= 0 \end{aligned}

Podelimo dobijenu jednačinu sa $3$.

6x^2 - 13xy + 6y^2 = 0

Dobili smo homogenu kvadratnu jednačinu. Ako je $y = 0 ,$ iz jednačine sledi da je i $x = 0 .$ Proverom u drugoj jednačini vidimo da je $(0, 0)$ jedno rešenje sistema. Za $y \neq 0 ,$ podelimo jednačinu sa $y^2$ i uvedemo smenu $t = \frac{x}{y} .$

6t^2 - 13t + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12} = \frac{13 \pm 5}{12}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Razmatramo prvi slučaj kada je $t = \frac{3}{2} ,$ odnosno $x = \frac{3}{2}y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema.

\begin{aligned} \left(\frac{3}{2}y\right)^2 - \left(\frac{3}{2}y\right)y + y^2 &= 7\left(\frac{3}{2}y - y\right) \\ \frac{9}{4}y^2 - \frac{3}{2}y^2 + y^2 &= 7 \cdot \frac{1}{2}y \\ \frac{7}{4}y^2 &= \frac{7}{2}y \end{aligned}

Sređujemo jednačinu po $y .$

\begin{aligned} \frac{7}{4}y^2 - \frac{7}{2}y &= 0 \\ \frac{7}{4}y(y - 2) &= 0 \end{aligned}

Rešenja ove jednačine su $y = 0$ i $y = 2 .$ Za $y = 0$ dobijamo $x = 0 ,$ što je već poznato rešenje. Za $y = 2$ računamo $x .$

x = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3

Razmatramo drugi slučaj kada je $t = \frac{2}{3} ,$ odnosno $x = \frac{2}{3}y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema.

\begin{aligned} \left(\frac{2}{3}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}y\right)y + y^2 &= 7\left(\frac{2}{3}y - y\right) \\ \frac{4}{9}y^2 - \frac{2}{3}y^2 + y^2 &= 7 \cdot \left(-\frac{1}{3}y\right) \\ \frac{7}{9}y^2 &= -\frac{7}{3}y \end{aligned}

Sređujemo jednačinu po $y .$

\begin{aligned} \frac{7}{9}y^2 + \frac{7}{3}y &= 0 \\ \frac{7}{9}y(y + 3) &= 0 \end{aligned}

Rešenja ove jednačine su $y = 0$ i $y = -3 .$ Za $y = 0$ dobijamo $x = 0 .$ Za $y = -3$ računamo $x .$

x = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2

Zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x, y) \in \{(0, 0), (3, 2), (-2, -3)\}

Započni učenje

Privatni časovi

345

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci