1816. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz prve jednačine izražavamo $y$ preko $x .$

y = 5 - x^2

Zamenjujemo dobijeni izraz za $y$ u drugu jednačinu sistema.

(5 - x^2)^2 + x^4 = 17

Kvadriramo binom i sređujemo jednačinu.

\begin{aligned} 25 - 10x^2 + x^4 + x^4 &= 17 \\ 2x^4 - 10x^2 + 8 &= 0 \\ x^4 - 5x^2 + 4 &= 0 \end{aligned}

Uvodimo smenu $t = x^2 ,$ pri čemu je $t \ge 0 .$

t^2 - 5t + 4 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies t_1 = 4, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za $t_1 = 4$ i računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ i $y .$

\begin{aligned} x^2 &= 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \\ y_1 &= 5 - 2^2 = 1 \\ y_2 &= 5 - (-2)^2 = 1 \end{aligned}

Vraćamo smenu za $t_2 = 1$ i računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ i $y .$

\begin{aligned} x^2 &= 1 \implies x_3 = 1, \quad x_4 = -1 \\ y_3 &= 5 - 1^2 = 4 \\ y_4 &= 5 - (-1)^2 = 4 \end{aligned}

Zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x, y) \in \{(2, 1), (-2, 1), (1, 4), (-1, 4)\}

1816.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate