Sistem jednačina četvrtog stepena: 481 i 37

Primetimo da se izraz $x^4 + x^2y^2 + y^4$ može faktorisati dodavanjem i oduzimanjem $x^2y^2 :$

x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2

Primenom razlike kvadrata dobijamo:

(x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)

Zamenom ovog identiteta u prvu jednačinu sistema dobijamo:

(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) = 481

Kako je iz druge jednačine $x^2 + xy + y^2 = 37 ,$ možemo to zameniti u prethodni izraz:

(x^2 - xy + y^2) \cdot 37 = 481

Deljenjem sa 37 računamo vrednost drugog faktora:

x^2 - xy + y^2 = 13

Sada imamo jednostavniji sistem od dve jednačine:

\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 37 \\ x^2 - xy + y^2 = 13 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo:

2xy = 24 \implies xy = 12

Sabiranjem prve i druge jednačine dobijamo:

2x^2 + 2y^2 = 50 \implies x^2 + y^2 = 25

Sada imamo novi ekvivalentni sistem:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}

Koristeći identitete za kvadrat binoma, računamo $(x+y)^2$ i $(x-y)^2 :$

\begin{aligned} (x+y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 49 \\ (x-y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 = 25 - 2 \cdot 12 = 1 \end{aligned}

Iz ovoga slede moguće vrednosti za $x+y$ i $x-y :$

\begin{aligned} x+y &= \pm 7 \\ x-y &= \pm 1 \end{aligned}

Ovo nam daje četiri moguća sistema linearnih jednačina. Rešavamo prvi sistem:

\begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = 1 \end{cases} \implies 2x = 8 \implies x = 4, y = 3

Rešavamo drugi sistem:

\begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = -1 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, y = 4

Rešavamo treći sistem:

\begin{cases} x+y = -7 \\ x-y = 1 \end{cases} \implies 2x = -6 \implies x = -3, y = -4

Rešavamo četvrti sistem:

\begin{cases} x+y = -7 \\ x-y = -1 \end{cases} \implies 2x = -8 \implies x = -4, y = -3

Skup svih rešenja početnog sistema je:

(x, y) \in \{(4, 3), (3, 4), (-3, -4), (-4, -3)\}

344