1819. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Prvo, određujemo uslove pod kojima je sistem definisan. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli:

x - y \neq 0 \quad \text{i} \quad x + y \neq 0 \implies x \neq y \quad \text{i} \quad x \neq -y

Posmatrajmo prvu jednačinu. Uvodimo smenu $u = \frac{x+y}{x-y} .$ Tada je $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{u} ,$ pa prva jednačina postaje:

u - \frac{1}{u} = \frac{9}{20}

Množenjem jednačine sa $20u$ (uz uslov $u \neq 0$ ) dobijamo kvadratnu jednačinu:

20u^2 - 9u - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $u :$

u_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-20)}}{2 \cdot 20} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 1600}}{40} = \frac{9 \pm 41}{40}

Dobijamo dva rešenja za $u :$

u_1 = \frac{50}{40} = \frac{5}{4}, \quad u_2 = \frac{-32}{40} = -\frac{4}{5}

Prvi slučaj: $u = \frac{5}{4} .$ Vraćamo smenu:

\frac{x+y}{x-y} = \frac{5}{4} \implies 4(x+y) = 5(x-y) \implies 4x + 4y = 5x - 5y \implies x = 9y

Zamenjujemo $x = 9y$ u drugu jednačinu sistema $x^2 + y^2 = 82 :$

(9y)^2 + y^2 = 82 \implies 81y^2 + y^2 = 82 \implies 82y^2 = 82 \implies y^2 = 1

Rešavanjem po $y$ dobijamo $y = 1$ ili $y = -1 .$ Odgovarajuće vrednosti za $x$ su:

\begin{cases} y_1 = 1 \implies x_1 = 9 \cdot 1 = 9 \\ y_2 = -1 \implies x_2 = 9 \cdot (-1) = -9 \end{cases}

Drugi slučaj: $u = -\frac{4}{5} .$ Vraćamo smenu:

\frac{x+y}{x-y} = -\frac{4}{5} \implies 5(x+y) = -4(x-y) \implies 5x + 5y = -4x + 4y \implies 9x = -y \implies y = -9x

Zamenjujemo $y = -9x$ u drugu jednačinu sistema:

x^2 + (-9x)^2 = 82 \implies x^2 + 81x^2 = 82 \implies 82x^2 = 82 \implies x^2 = 1

Rešavanjem po $x$ dobijamo $x = 1$ ili $x = -1 .$ Odgovarajuće vrednosti za $y$ su:

\begin{cases} x_3 = 1 \implies y_3 = -9 \cdot 1 = -9 \\ x_4 = -1 \implies y_4 = -9 \cdot (-1) = 9 \end{cases}

Sva dobijena rešenja zadovoljavaju početne uslove $x \neq y$ i $x \neq -y .$ Skup rešenja sistema je:

(x, y) \in \{(9, 1), (-9, -1), (1, -9), (-1, 9)\}

1819.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate