Sistem jednačina sa razlomcima: xy = 6

Prvo određujemo uslove pod kojima je sistem definisan. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

x - y \neq 0 \quad \text{i} \quad x + y \neq 0 \implies x \neq y \quad \text{i} \quad x \neq -y

Uvodimo smenu $u = \frac{x+y}{x-y} .$ Tada prva jednačina postaje:

u + \frac{1}{u} = \frac{26}{5}

Množimo jednačinu sa $5u$ (uz uslov $u \neq 0$ ) kako bismo se oslobodili razlomaka:

5u^2 - 26u + 5 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $u :$

u_{1,2} = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5}}{2 \cdot 5} = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 100}}{10} = \frac{26 \pm 24}{10}

Dobijamo dva rešenja za $u :$

u_1 = \frac{50}{10} = 5, \quad u_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

Razmatramo prvi slučaj kada je $u = 5 .$ Vraćamo smenu:

\frac{x+y}{x-y} = 5

Množimo sa $x-y$ i izražavamo $x$ preko $y :$

x + y = 5(x - y) \implies x + y = 5x - 5y \implies 4x = 6y \implies x = \frac{3}{2}y

Zamenjujemo dobijeni izraz za $x$ u drugu jednačinu sistema $xy = 6 :$

\frac{3}{2}y \cdot y = 6 \implies \frac{3}{2}y^2 = 6 \implies y^2 = 4

Rešavamo po $y$ i nalazimo odgovarajuće vrednosti za $x :$

y_1 = 2 \implies x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 \\ y_2 = -2 \implies x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3

Razmatramo drugi slučaj kada je $u = \frac{1}{5} .$ Vraćamo smenu:

\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{5}

Množimo sa $5(x-y)$ i izražavamo $x$ preko $y :$

5(x + y) = x - y \implies 5x + 5y = x - y \implies 4x = -6y \implies x = -\frac{3}{2}y

Zamenjujemo dobijeni izraz za $x$ u drugu jednačinu sistema $xy = 6 :$

-\frac{3}{2}y \cdot y = 6 \implies -\frac{3}{2}y^2 = 6 \implies y^2 = -4

Pošto kvadrat realnog broja ne može biti negativan, ovaj slučaj nema rešenja u skupu realnih brojeva.

y \notin \mathbb{R}

Proveravamo da li dobijena rešenja iz prvog slučaja zadovoljavaju uslove definisanosti sistema ( $x \neq y$ i $x \neq -y$ ):

3 \neq 2, \quad 3 \neq -2 \\ -3 \neq -2, \quad -3 \neq 2

Konačno rešenje sistema je skup uređenih parova:

(x, y) \in \{(3, 2), (-3, -2)\}

342