2036. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Grupišemo članove tako što prebacimo članove sa istim osnovama na istu stranu jednačine.

x^2 \cdot 2^{x+1} - 2^{x-1} = x^2 \cdot 2^{|x-3|+4} - 2^{|x-3|+2}

Izvlačimo zajedničke faktore na levoj i desnoj strani jednačine. Na levoj strani to je $2^{x-1} ,$ a na desnoj $2^{|x-3|+2} .$

2^{x-1}(x^2 \cdot 2^2 - 1) = 2^{|x-3|+2}(x^2 \cdot 2^2 - 1)

Sređujemo izraz u zagradi i prebacujemo sve na levu stranu kako bismo faktorisali jednačinu.

2^{x-1}(4x^2 - 1) - 2^{|x-3|+2}(4x^2 - 1) = 0

Izvlačimo zajednički faktor $4x^2 - 1 .$

(4x^2 - 1)(2^{x-1} - 2^{|x-3|+2}) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od faktora jednak nuli. Prvi slučaj je:

4x^2 - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

x^2 = \frac{1}{4} \implies x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}

Drugi slučaj je kada je drugi faktor jednak nuli:

2^{x-1} - 2^{|x-3|+2} = 0

Prebacujemo drugi član na desnu stranu i izjednačavamo eksponente jer su osnove iste.

2^{x-1} = 2^{|x-3|+2} \implies x - 1 = |x - 3| + 2

Sređujemo dobijenu jednačinu tako da apsolutna vrednost ostane na jednoj strani.

|x - 3| = x - 3

Definišemo apsolutnu vrednost izraza $|x-3|$ po definiciji.

|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{za } x-3 \ge 0 \\ -(x-3), & \text{za } x-3 < 0 \end{cases}

Na osnovu definicije, jednačina $|x-3| = x-3$ važi samo u slučaju kada je izraz pod apsolutnom vrednošću veći ili jednak nuli.

x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3

Zapisujemo rešenje drugog slučaja u obliku intervala.

x \in [3, +\infty)

Konačno rešenje je unija rešenja iz prvog i drugog slučaja.

x \in \left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\} \cup [3, +\infty)

487.i