2045.

Eksponencijalne jednačine i nejednačine

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu:

312x−1−96x−1−274x−1+813x+1=21923^{12x-1} - 9^{6x-1} - 27^{4x-1} + 81^{3x+1} = 2192
REŠENJE ZADATKA

Sve osnove stepena možemo napisati kao stepene broja 3. 3 .

9=3227=3381=34\begin{aligned} 9 &= 3^2 \\ 27 &= 3^3 \\ 81 &= 3^4 \end{aligned}

Primenjujemo pravilo za stepenovanje stepena (am)n=am⋅n (a^m)^n = a^{m \cdot n} na svaki član jednačine.

96x−1=(32)6x−1=312x−2274x−1=(33)4x−1=312x−3813x+1=(34)3x+1=312x+4\begin{aligned} 9^{6x-1} &= (3^2)^{6x-1} = 3^{12x-2} \\ 27^{4x-1} &= (3^3)^{4x-1} = 3^{12x-3} \\ 81^{3x+1} &= (3^4)^{3x+1} = 3^{12x+4} \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze u početnu jednačinu.

312x−1−312x−2−312x−3+312x+4=21923^{12x-1} - 3^{12x-2} - 3^{12x-3} + 3^{12x+4} = 2192

Izvlačimo zajednički činilac sa najmanjim izložiocem ispred zagrade, a to je 312x−3. 3^{12x-3} .

312x−3⋅(32−31−30+37)=21923^{12x-3} \cdot (3^2 - 3^1 - 3^0 + 3^7) = 2192

Računamo vrednosti stepena u zagradi.

312x−3⋅(9−3−1+2187)=21923^{12x-3} \cdot (9 - 3 - 1 + 2187) = 2192

Sabiramo i oduzimamo brojeve u zagradi.

312x−3⋅2192=21923^{12x-3} \cdot 2192 = 2192

Delimo obe strane jednačine sa 2192. 2192 .

312x−3=13^{12x-3} = 1

Zapisujemo broj 1 1 kao stepen sa osnovom 3, 3 , koristeći pravilo a0=1. a^0 = 1 .

312x−3=303^{12x-3} = 3^0

Pošto su osnove jednake, izjednačavamo izložioce.

12x−3=012x - 3 = 0

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu po x. x .

12x=312x = 3

Delimo sa 12 12 i skraćujemo razlomak.

x=312=14x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti