2040. Eksponencijalne jednačine i nejednačine

Grupišemo članove sa istom osnovom na različite strane jednačine.

9^x + 3^{2x-1} = 2^{x+7/2} + 2^{x+1/2}

Zapišemo $9^x$ preko osnove 3, odnosno kao $(3^2)^x = 3^{2x} .$

3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x+7/2} + 2^{x+1/2}

Izvučemo zajednički faktor ispred zagrade za obe strane. Na levoj strani to je $3^{2x-1} ,$ a na desnoj $2^{x+1/2} .$

3^{2x-1}(3^1 + 1) = 2^{x+1/2}(2^3 + 1)

Računamo vrednosti u zagradama.

3^{2x-1} \cdot 4 = 2^{x+1/2} \cdot 9

Podelimo jednačinu sa $4 \cdot 9$ (odnosno $2^2 \cdot 3^2$ ) kako bismo razdvojili osnove.

\frac{3^{2x-1}}{3^2} = \frac{2^{x+1/2}}{2^2}

Primenimo pravilo za deljenje stepena istih osnova: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} .$

3^{2x-1-2} = 2^{x+1/2-2}

Sredimo izložioce na obe strane.

3^{2x-3} = 2^{x-3/2}

Primetimo da je $2x-3 = 2(x-3/2) .$ Zapišemo levu stranu koristeći ovo svojstvo.

3^{2(x-3/2)} = 2^{x-3/2}

Primenimo pravilo za stepen stepena: $a^{m \cdot n} = (a^m)^n .$

(3^2)^{x-3/2} = 2^{x-3/2}

Računamo osnovu na levoj strani.

9^{x-3/2} = 2^{x-3/2}

Podelimo obe strane sa $2^{x-3/2}$ (što je uvek veće od nule).

\left(\frac{9}{2}\right)^{x-3/2} = 1

Bilo koji broj (različit od nule) na nulti stepen je 1, pa izjednačavamo izložilac sa nulom.

x - \frac{3}{2} = 0

Rešimo linearnu jednačinu po $x .$

x = \frac{3}{2}

487.ž