1815. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formule za razliku i zbir kubova na leve strane jednačina:

\begin{cases} (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x - y) \\ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 7(x + y) \end{cases}

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajedničke činioce:

\begin{cases} (x - y)(x^2 + xy + y^2 - 19) = 0 \\ (x + y)(x^2 - xy + y^2 - 7) = 0 \end{cases}

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Iz prve jednačine dobijamo $x - y = 0$ ili $x^2 + xy + y^2 - 19 = 0 .$ Iz druge jednačine dobijamo $x + y = 0$ ili $x^2 - xy + y^2 - 7 = 0 .$ Kombinovanjem ovih uslova dobijamo četiri moguća slučaja.

**Prvi slučaj:** $x - y = 0$ i $x + y = 0 .$

\begin{cases} x = y \\ x = -y \end{cases} \implies 2x = 0 \implies x = 0, y = 0

**Drugi slučaj:** $x - y = 0$ i $x^2 - xy + y^2 - 7 = 0 .$ Zamenom $y = x$ u drugu jednačinu dobijamo:

x^2 - x \cdot x + x^2 = 7 \implies x^2 = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}

Pošto je $y = x ,$ dobijamo dva rešenja za ovaj slučaj:

(x, y) \in \{(\sqrt{7}, \sqrt{7}), (-\sqrt{7}, -\sqrt{7})\}

**Treći slučaj:** $x + y = 0$ i $x^2 + xy + y^2 - 19 = 0 .$ Zamenom $y = -x$ u drugu jednačinu dobijamo:

x^2 + x(-x) + (-x)^2 = 19 \implies x^2 = 19 \implies x = \pm\sqrt{19}

Pošto je $y = -x ,$ dobijamo još dva rešenja:

(x, y) \in \{(\sqrt{19}, -\sqrt{19}), (-\sqrt{19}, \sqrt{19})\}

**Četvrti slučaj:** $x^2 + xy + y^2 - 19 = 0$ i $x^2 - xy + y^2 - 7 = 0 .$

\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo:

2xy = 12 \implies xy = 6

Sabiranjem prve i druge jednačine dobijamo:

2x^2 + 2y^2 = 26 \implies x^2 + y^2 = 13

Sada možemo formirati kvadrate zbira i razlike koristeći dobijene vrednosti za $x^2 + y^2$ i $xy :$

\begin{cases} (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 13 + 12 = 25 \\ (x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 13 - 12 = 1 \end{cases}

Korenovanjem dobijamo $x+y = \pm 5$ i $x-y = \pm 1 .$ Kombinovanjem ovih uslova formiramo četiri jednostavna sistema linearnih jednačina:

\begin{matrix} 1) \begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases} & 2) \begin{cases} x+y=5 \\ x-y=-1 \end{cases} \\ 3) \begin{cases} x+y=-5 \\ x-y=1 \end{cases} & 4) \begin{cases} x+y=-5 \\ x-y=-1 \end{cases} \end{matrix}

Rešavanjem ovih sistema (npr. sabiranjem jednačina) dobijamo preostala četiri rešenja:

(x, y) \in \{(3, 2), (2, 3), (-2, -3), (-3, -2)\}

Konačan skup svih rešenja sistema je unija rešenja iz sva četiri slučaja:

(x, y) \in \{(0,0), (\sqrt{7}, \sqrt{7}), (-\sqrt{7}, -\sqrt{7}), (\sqrt{19}, -\sqrt{19}), (-\sqrt{19}, \sqrt{19}), (3, 2), (2, 3), (-2, -3), (-3, -2)\}

346