TEKST ZADATKA
Rešiti sisteme jednačina (zadaci 330-332): x2+y2=3x+4y, x+y=k, k∈R;
REŠENJE ZADATKA
Iz linearne jednačine izražavamo nepoznatu y preko x.
Zamenjujemo dobijeni izraz za y u prvu (kvadratnu) jednačinu.
x2+(k−x)2=3x+4(k−x) Kvadriramo binom i grupišemo članove kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po x.
x2+k2−2kx+x22x2−2kx+k22x2+(1−2k)x+k2−4k=3x+4k−4x=−x+4k=0 Da bismo analizirali rešenja ove kvadratne jednačine, računamo njenu diskriminantu D.
DDDD=b2−4ac=(1−2k)2−4⋅2⋅(k2−4k)=1−4k+4k2−8k2+32k=−4k2+28k+1 Priroda rešenja sistema zavisi od znaka diskriminante. Prvo nalazimo nule diskriminante, odnosno rešavamo jednačinu −4k2+28k+1=0.
k1,2=2⋅(−4)−28±282−4⋅(−4)⋅1=−8−28±784+16=−8−28±800=−8−28±202=27∓52 Sistem ima realna rešenja ako i samo ako je D≥0. Na osnovu nula diskriminante, određujemo interval za k u kom postoje realna rešenja.
k∈[27−52,27+52] Za vrednosti k iz ovog intervala, nalazimo rešenja za x primenom formule za kvadratnu jednačinu.
x1,2=4−(1−2k)±−4k2+28k+1=42k−1±−4k2+28k+1 Zamenom dobijenih vrednosti za x u jednačinu y=k−x, računamo odgovarajuće vrednosti za y.
y1,2=k−42k−1±−4k2+28k+1=44k−(2k−1±−4k2+28k+1)=42k+1∓−4k2+28k+1 Konačna rešenja sistema u obliku uređenih parova (x,y) za k∈[27−52,27+52] su:
(x,y)=(42k−1±−4k2+28k+1,42k+1∓−4k2+28k+1) Broj rešenja u zavisnosti od parametra k:
⎩⎨⎧2 resˇenja,1 resˇenje,0 resˇenja,k∈(27−52,27+52)k∈{27−52,27+52}k∈(−∞,27−52)∪(27+52,+∞)