1814. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz linearne jednačine izražavamo nepoznatu $y$ preko $x .$

y = k - x

Zamenjujemo dobijeni izraz za $y$ u prvu (kvadratnu) jednačinu.

x^2 + (k - x)^2 = 3x + 4(k - x)

Kvadriramo binom i grupišemo članove kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $x .$

\begin{aligned} x^2 + k^2 - 2kx + x^2 &= 3x + 4k - 4x \\ 2x^2 - 2kx + k^2 &= -x + 4k \\ 2x^2 + (1 - 2k)x + k^2 - 4k &= 0 \end{aligned}

Da bismo analizirali rešenja ove kvadratne jednačine, računamo njenu diskriminantu $D .$

\begin{aligned} D &= b^2 - 4ac \\ D &= (1 - 2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 - 4k) \\ D &= 1 - 4k + 4k^2 - 8k^2 + 32k \\ D &= -4k^2 + 28k + 1 \end{aligned}

Priroda rešenja sistema zavisi od znaka diskriminante. Prvo nalazimo nule diskriminante, odnosno rešavamo jednačinu $-4k^2 + 28k + 1 = 0 .$

k_{1,2} = \frac{-28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 1}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-28 \pm \sqrt{784 + 16}}{-8} = \frac{-28 \pm \sqrt{800}}{-8} = \frac{-28 \pm 20\sqrt{2}}{-8} = \frac{7 \mp 5\sqrt{2}}{2}

Sistem ima realna rešenja ako i samo ako je $D \ge 0 .$ Na osnovu nula diskriminante, određujemo interval za $k$ u kom postoje realna rešenja.

k \in \left[ \frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}, \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2} \right]

Za vrednosti $k$ iz ovog intervala, nalazimo rešenja za $x$ primenom formule za kvadratnu jednačinu.

x_{1,2} = \frac{-(1 - 2k) \pm \sqrt{-4k^2 + 28k + 1}}{4} = \frac{2k - 1 \pm \sqrt{-4k^2 + 28k + 1}}{4}

Zamenom dobijenih vrednosti za $x$ u jednačinu $y = k - x ,$ računamo odgovarajuće vrednosti za $y .$

y_{1,2} = k - \frac{2k - 1 \pm \sqrt{-4k^2 + 28k + 1}}{4} = \frac{4k - (2k - 1 \pm \sqrt{-4k^2 + 28k + 1})}{4} = \frac{2k + 1 \mp \sqrt{-4k^2 + 28k + 1}}{4}

Konačna rešenja sistema u obliku uređenih parova $(x, y)$ za $k \in \left[ \frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}, \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2} \right]$ su:

(x, y) = \left( \frac{2k - 1 \pm \sqrt{-4k^2 + 28k + 1}}{4}, \frac{2k + 1 \mp \sqrt{-4k^2 + 28k + 1}}{4} \right)

Broj rešenja u zavisnosti od parametra $k :$

\begin{cases} 2 \text{ rešenja}, & k \in \left( \frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}, \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2} \right) \\ 1 \text{ rešenje}, & k \in \left\{ \frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}, \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2} \right\} \\ 0 \text{ rešenja}, & k \in \left( -\infty, \frac{7 - 5\sqrt{2}}{2} \right) \cup \left( \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}, +\infty \right) \end{cases}

330.v