1619.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Naći realna rešenja jednačine x4−2ax2−x+a2−a=0, x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0 , gde je a a realan parametar.

x4−2ax2−x+a2−a=0x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0
REŠENJE ZADATKA

Jednačinu posmatramo kao kvadratnu jednačinu po parametru a. a . Grupišemo članove uz a2, a^2 , a a i slobodne članove.

a2−(2x2+1)a+(x4−x)=0a^2 - (2x^2 + 1)a + (x^4 - x) = 0

Rešavamo ovu jednačinu po a a koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

a1,2=(2x2+1)±(2x2+1)2−4(x4−x)2a_{1,2} = \frac{(2x^2 + 1) \pm \sqrt{(2x^2 + 1)^2 - 4(x^4 - x)}}{2}

Sređujemo izraz pod korenom (diskriminantu po a a ).

Da=4x4+4x2+1−4x4+4x=4x2+4x+1=(2x+1)2D_a = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^4 + 4x = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2

Zamenjujemo vrednost korena nazad u formulu za a. a .

a=2x2+1±(2x+1)2a = \frac{2x^2 + 1 \pm (2x + 1)}{2}

Dobijamo dve moguće veze između a a i x: x :

a1=2x2+1+2x+12=x2+x+1ilia2=2x2+1−2x−12=x2−xa_1 = \frac{2x^2 + 1 + 2x + 1}{2} = x^2 + x + 1 \quad \text{ili} \quad a_2 = \frac{2x^2 + 1 - 2x - 1}{2} = x^2 - x

Sada rešavamo dobijene kvadratne jednačine po x. x . Prva jednačina je x2+x+(1−a)=0. x^2 + x + (1 - a) = 0 .

x1,2=−1±1−4(1−a)2=−1±4a−32x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1 - a)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}

Druga jednačina je x2−x−a=0. x^2 - x - a = 0 .

x3,4=1±1−4(−a)2=1±4a+12x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-a)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{4a + 1}}{2}

Realna rešenja postoje kada su diskriminante nenegativne. Za prvu grupu rešenja uslov je a≥34, a \ge \frac{3}{4} , a za drugu a≥−14. a \ge -\frac{1}{4} . Ukoliko su diskriminante negativne, rešenja su konjugovano-kompleksna.

x1,2=−1±4a−32,x3,4=1±4a+12x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a-3}}{2}, \quad x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{4a+1}}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti