Jednačina četvrtog stepena s parametrom: kvadratna po a

Jednačinu posmatramo kao kvadratnu jednačinu po parametru $a .$ Grupišemo članove uz $a^2 ,$ $a$ i slobodne članove.

a^2 - (2x^2 + 1)a + (x^4 - x) = 0

Rešavamo ovu jednačinu po $a$ koristeći formulu za korene kvadratne jednačine.

a_{1,2} = \frac{(2x^2 + 1) \pm \sqrt{(2x^2 + 1)^2 - 4(x^4 - x)}}{2}

Sređujemo izraz pod korenom (diskriminantu po $a$ ).

D_a = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^4 + 4x = 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2

Zamenjujemo vrednost korena nazad u formulu za $a .$

a = \frac{2x^2 + 1 \pm (2x + 1)}{2}

Dobijamo dve moguće veze između $a$ i $x :$

a_1 = \frac{2x^2 + 1 + 2x + 1}{2} = x^2 + x + 1 \quad \text{ili} \quad a_2 = \frac{2x^2 + 1 - 2x - 1}{2} = x^2 - x

Sada rešavamo dobijene kvadratne jednačine po $x .$ Prva jednačina je $x^2 + x + (1 - a) = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1 - a)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}

Druga jednačina je $x^2 - x - a = 0 .$

x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-a)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{4a + 1}}{2}

Realna rešenja postoje kada su diskriminante nenegativne. Za prvu grupu rešenja uslov je $a \ge \frac{3}{4} ,$ a za drugu $a \ge -\frac{1}{4} .$ Ukoliko su diskriminante negativne, rešenja su konjugovano-kompleksna.

x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a-3}}{2}, \quad x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{4a+1}}{2}

Započni učenje

Privatni časovi

247

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci