Jednačina četvrtog stepena: x na četvrti - 2x na treći

Prvo ćemo pomnožiti celu jednačinu sa 4 kako bismo uklonili razlomak i olakšali rad sa koeficijentima.

4x^4 - 8x^3 + 4x - 3 = 0

Pokušavamo da grupišemo članove ili faktorizujemo polinom. Primetimo da se izraz može zapisati kao razlika kvadrata transformacijom članova.

(2x^2 - 2x)^2 - (2x - \sqrt{3})(2x + \sqrt{3}) = 0

Alternativno, jednačinu možemo zapisati u obliku proizvoda dva kvadratna trinoma. Tražimo faktorizaciju oblika:

(2x^2 - 2x - 3)(2x^2 - 2x + 1) = 0

Sada rešavamo prvu kvadratnu jednačinu:

2x^2 - 2x - 3 = 0

Primenom kvadratne formule za $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dobijamo prva dva rešenja:

x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}

Zatim rešavamo drugu kvadratnu jednačinu:

2x^2 - 2x + 1 = 0

Računamo diskriminantu ove jednačine $D = b^2 - 4ac = 4 - 8 = -4 .$ Pošto je negativna, dobijamo konjugovano-kompleksna rešenja:

x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{4} = \frac{2 \pm 2i}{4} = \frac{1 \pm i}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}, \quad x_3 = \frac{1 + i}{2}, \quad x_4 = \frac{1 - i}{2}

246.g