1620.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x+2)(x−3)(x−1)(x+6)=40x2(x + 2)(x - 3)(x - 1)(x + 6) = 40x^2
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je proizvod slobodnih članova prvog i četvrtog zaglavlja jednak proizvodu drugog i trećeg: 2⋅6=12 2 \cdot 6 = 12 i (−3)⋅(−1)=3. (-3) \cdot (-1) = 3 . Međutim, bolja grupacija je 2⋅(−3)=−6 2 \cdot (-3) = -6 i (−1)⋅6=−6. (-1) \cdot 6 = -6 . Preuredimo činioce:

[(x+2)(x−3)][(x−1)(x+6)]=40x2[(x + 2)(x - 3)][(x - 1)(x + 6)] = 40x^2

Izmnožimo zagrade unutar ugaonih zagrada:

(x2−x−6)(x2+5x−6)=40x2(x^2 - x - 6)(x^2 + 5x - 6) = 40x^2

Pošto x=0 x = 0 nije rešenje jednačine (zamenom dobijamo −6⋅−6=36≠0 -6 \cdot -6 = 36 \neq 0 ), možemo podeliti celu jednačinu sa x2. x^2 . Delimo svaki faktor sa x: x :

x2−x−6x⋅x2+5x−6x=40\frac{x^2 - x - 6}{x} \cdot \frac{x^2 + 5x - 6}{x} = 40

Sredimo izraze u zagradama:

(x−1−6x)(x+5−6x)=40(x - 1 - \frac{6}{x})(x + 5 - \frac{6}{x}) = 40

Uvodimo smenu t=x−6x. t = x - \frac{6}{x} . Jednačina postaje:

(t−1)(t+5)=40(t - 1)(t + 5) = 40

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t2+4t−5=40  ⟹  t2+4t−45=0t^2 + 4t - 5 = 40 \implies t^2 + 4t - 45 = 0

Računamo diskriminantu i korene za t: t :

t1,2=−4±16+1802=−4±142t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2} = \frac{-4 \pm 14}{2}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=5,t2=−9t_1 = 5, \quad t_2 = -9

Vraćamo smenu za t1=5: t_1 = 5 :

x−6x=5  ⟹  x2−5x−6=0x - \frac{6}{x} = 5 \implies x^2 - 5x - 6 = 0

Rešenja prve kvadratne jednačine su:

x1=6,x2=−1x_1 = 6, \quad x_2 = -1

Vraćamo smenu za t2=−9: t_2 = -9 :

x−6x=−9  ⟹  x2+9x−6=0x - \frac{6}{x} = -9 \implies x^2 + 9x - 6 = 0

Rešenja druge kvadratne jednačine su:

x3,4=−9±81−4(1)(−6)2=−9±1052x_{3,4} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{105}}{2}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x∈{6,−1,−9+1052,−9−1052}x \in \{ 6, -1, \frac{-9 + \sqrt{105}}{2}, \frac{-9 - \sqrt{105}}{2} \}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti