Sistem kvadratnih jednačina sa parametrom a

Zamenjujemo $x^2$ iz prve jednačine u drugu:

(ay - 2) + y^2 - 2y - 1 = 0

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po $y :$

y^2 + (a - 2)y - 3 = 0

Diskriminanta ove kvadratne jednačine je:

\Delta = (a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = (a - 2)^2 + 12

Kako je $\Delta > 0$ za svako $a \in \mathbf{R} ,$ kvadratna jednačina uvek ima dva različita realna rešenja $y_1$ i $y_2 :$

y_{1,2} = \frac{2 - a \pm \sqrt{a^2 - 4a + 16}}{2}

Da bi rešenje za $x$ bilo realno, mora važiti $x^2 \ge 0 .$ Iz prve jednačine imamo:

ay - 2 \ge 0

Iz jednačine $(ay - 2) + y^2 - 2y - 1 = 0$ sledi da je $ay - 2 = -y^2 + 2y + 1 .$ Uslov $x^2 \ge 0$ se svodi na:

-y^2 + 2y + 1 \ge 0

Množenjem sa $-1$ dobijamo $y^2 - 2y - 1 \le 0 .$ Nule odgovarajuće kvadratne funkcije su:

y_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}

Rešenje nejednačine daje interval u kojem se mora nalaziti $y$ da bi $x$ bilo realno:

y \in [1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]

Neka je $f(y) = y^2 + (a - 2)y - 3 .$ Potrebno je odrediti za koje vrednosti parametra $a$ rešenja jednačine $f(y) = 0$ pripadaju intervalu $[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}] .$

Računamo vrednosti funkcije $f(y)$ u granicama intervala:

\begin{aligned} f(1 - \sqrt{2}) &= (1 - \sqrt{2})^2 + (a - 2)(1 - \sqrt{2}) - 3 = a(1 - \sqrt{2}) - 2 \\ f(1 + \sqrt{2}) &= (1 + \sqrt{2})^2 + (a - 2)(1 + \sqrt{2}) - 3 = a(1 + \sqrt{2}) - 2 \end{aligned}

Kako je proizvod rešenja $y_1 \cdot y_2 = -3 < 0 ,$ rešenja su suprotnog znaka. Neka je $y_1 < 0 < y_2 .$

Kvadratna funkcija $f(y)$ ima otvor okrenut nagore. Rešenje će se nalaziti unutar intervala ako je vrednost funkcije na granici veća ili jednaka nuli (jer se nula nalazi između granica).

Uslov da pozitivno rešenje $y_2$ pripada intervalu (odnosno $y_2 \le 1 + \sqrt{2}$ ) je $f(1 + \sqrt{2}) \ge 0 :$

a(1 + \sqrt{2}) - 2 \ge 0 \implies a \ge \frac{2}{1 + \sqrt{2}} = 2(\sqrt{2} - 1)

Uslov da negativno rešenje $y_1$ pripada intervalu (odnosno $y_1 \ge 1 - \sqrt{2}$ ) je $f(1 - \sqrt{2}) \ge 0 :$

a(1 - \sqrt{2}) - 2 \ge 0 \implies a \le \frac{2}{1 - \sqrt{2}} = -2(\sqrt{2} + 1)

Na osnovu dobijenih uslova, razlikujemo sledeće slučajeve za parametar $a :$

Slučaj 1: Ako je $a \in (-2(\sqrt{2} + 1), 2(\sqrt{2} - 1)) ,$ tada je $f(1 - \sqrt{2}) < 0$ i $f(1 + \sqrt{2}) < 0 .$ Nijedno rešenje za $y$ ne pripada dozvoljenom intervalu.

\text{Sistem nema realnih rešenja.}

Slučaj 2: Ako je $a = 2(\sqrt{2} - 1) ,$ tada je $y_2 = 1 + \sqrt{2} .$ Iz uslova $x^2 = -y^2 + 2y + 1$ sledi $x^2 = 0 ,$ pa je $x = 0 .$

(x, y) = (0, 1 + \sqrt{2})

Slučaj 3: Ako je $a = -2(\sqrt{2} + 1) ,$ tada je $y_1 = 1 - \sqrt{2} .$ Slično, dobijamo $x^2 = 0 ,$ pa je $x = 0 .$

(x, y) = (0, 1 - \sqrt{2})

Slučaj 4: Ako je $a > 2(\sqrt{2} - 1) ,$ samo rešenje $y_2$ pripada intervalu. Tada imamo dva rešenja za $x .$

(x, y) = \left(\pm \sqrt{a y_2 - 2}, y_2\right), \quad \text{gde je } y_2 = \frac{2 - a + \sqrt{a^2 - 4a + 16}}{2}

Slučaj 5: Ako je $a < -2(\sqrt{2} + 1) ,$ samo rešenje $y_1$ pripada intervalu. Tada takođe imamo dva rešenja za $x .$

(x, y) = \left(\pm \sqrt{a y_1 - 2}, y_1\right), \quad \text{gde je } y_1 = \frac{2 - a - \sqrt{a^2 - 4a + 16}}{2}

Započni učenje

Privatni časovi

330.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci