1811.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

{∣x2−2x∣+y=1x2+∣y∣=1\begin{cases} |x^2 - 2x| + y = 1 \\ x^2 + |y| = 1 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Pre rešavanja, definišimo izraze sa apsolutnim vrednostima iz sistema. Prvo definišemo izraz ∣x2−2x∣: |x^2 - 2x| :

∣x2−2x∣={x2−2x,za x2−2x≥0−(x2−2x),za x2−2x<0|x^2 - 2x| = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{za } x^2 - 2x \ge 0 \\ -(x^2 - 2x), & \text{za } x^2 - 2x < 0 \end{cases}

Zatim definišemo izraz ∣y∣: |y| :

∣y∣={y,za y≥0−y,za y<0|y| = \begin{cases} y, & \text{za } y \ge 0 \\ -y, & \text{za } y < 0 \end{cases}

Iz druge jednačine imamo da je ∣y∣=1−x2. |y| = 1 - x^2 . Kako je apsolutna vrednost uvek nenegativna (∣y∣≥0 |y| \ge 0 ), mora važiti:

1−x2≥01 - x^2 \ge 0

Rešavanjem ove nejednačine dobijamo uslov za x: x :

x2≤1  ⟹  x∈[−1,1]x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]

Iz prve jednačine izražavamo y: y :

y=1−∣x2−2x∣y = 1 - |x^2 - 2x|

Analizirajmo znak izraza x2−2x=x(x−2) x^2 - 2x = x(x - 2) za x∈[−1,1]. x \in [-1, 1] . Pošto je x≤1, x \le 1 , izraz x−2 x - 2 je uvek negativan. Znak celog izraza zavisi samo od x. x . Razlikovaćemo dva slučaja: x∈[−1,0] x \in [-1, 0] i x∈(0,1]. x \in (0, 1] .

Slučaj 1: Neka je x∈[−1,0]. x \in [-1, 0] . Tada je x≤0, x \le 0 , pa je x(x−2)≥0. x(x - 2) \ge 0 . Zato je:

∣x2−2x∣=x2−2x|x^2 - 2x| = x^2 - 2x

Zamenjujemo ovo u izraz za y: y :

y=1−(x2−2x)=−x2+2x+1y = 1 - (x^2 - 2x) = -x^2 + 2x + 1

Zamenjujemo dobijeni izraz za y y u drugu jednačinu x2+∣y∣=1: x^2 + |y| = 1 :

x2+∣−x2+2x+1∣=1x^2 + |-x^2 + 2x + 1| = 1

Definišimo izraz sa apsolutnom vrednošću koji se pojavljuje u ovom slučaju:

∣−x2+2x+1∣={−x2+2x+1,za −x2+2x+1≥0−(−x2+2x+1),za −x2+2x+1<0|-x^2 + 2x + 1| = \begin{cases} -x^2 + 2x + 1, & \text{za } -x^2 + 2x + 1 \ge 0 \\ -(-x^2 + 2x + 1), & \text{za } -x^2 + 2x + 1 < 0 \end{cases}

Da bismo oslobodili apsolutnu vrednost, ispitujemo znak izraza −x2+2x+1 -x^2 + 2x + 1 za x∈[−1,0]. x \in [-1, 0] . Koreni jednačine −x2+2x+1=0 -x^2 + 2x + 1 = 0 su x1,2=1±2. x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2} . Parabola je okrenuta nadole, pa je izraz nenegativan za x∈[1−2,1+2]. x \in [1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}] . Pošto je 1−2≈−0.414, 1 - \sqrt{2} \approx -0.414 , interval [−1,0] [-1, 0] delimo na dva podsistema.

Podslučaj 1.1: x∈[−1,1−2). x \in [-1, 1 - \sqrt{2}) . Na ovom intervalu je −x2+2x+1<0, -x^2 + 2x + 1 < 0 , pa je ∣−x2+2x+1∣=x2−2x−1. |-x^2 + 2x + 1| = x^2 - 2x - 1 . Jednačina postaje:

x2+(x2−2x−1)=1x^2 + (x^2 - 2x - 1) = 1

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu:

2x2−2x−2=0  ⟹  x2−x−1=02x^2 - 2x - 2 = 0 \implies x^2 - x - 1 = 0

Koreni ove jednačine su:

x1,2=1±52x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Proveravamo koji koren pripada intervalu [−1,1−2). [-1, 1 - \sqrt{2}) . Kako je 1+52>0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0 , to rešenje odbacujemo. Za drugo rešenje imamo 1−52≈−0.618, \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618 , što pripada intervalu (jer je −0.618∈[−1,−0.414) -0.618 \in [-1, -0.414) ). Dakle, x=1−52 x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} je rešenje.

Računamo odgovarajuće y: y :

y=−(1−52)2+2(1−52)+1=1−52y = -\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + 1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Podslučaj 1.2: x∈[1−2,0]. x \in [1 - \sqrt{2}, 0] . Na ovom intervalu je −x2+2x+1≥0, -x^2 + 2x + 1 \ge 0 , pa je ∣−x2+2x+1∣=−x2+2x+1. |-x^2 + 2x + 1| = -x^2 + 2x + 1 . Jednačina postaje:

x2+(−x2+2x+1)=1x^2 + (-x^2 + 2x + 1) = 1

Sređivanjem dobijamo:

2x+1=1  ⟹  2x=0  ⟹  x=02x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0

Rešenje x=0 x = 0 pripada intervalu [1−2,0]. [1 - \sqrt{2}, 0] . Računamo odgovarajuće y: y :

y=−02+2⋅0+1=1y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1

Slučaj 2: Neka je x∈(0,1]. x \in (0, 1] . Tada je x>0, x > 0 , pa je x(x−2)<0. x(x - 2) < 0 . Zato je:

∣x2−2x∣=−(x2−2x)=−x2+2x|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x

Zamenjujemo ovo u izraz za y: y :

y=1−(−x2+2x)=x2−2x+1=(x−1)2y = 1 - (-x^2 + 2x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Pošto je y=(x−1)2≥0 y = (x - 1)^2 \ge 0 za svako x, x , imamo da je ∣y∣=y=x2−2x+1. |y| = y = x^2 - 2x + 1 . Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu x2+∣y∣=1: x^2 + |y| = 1 :

x2+(x2−2x+1)=1x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 1

Sređivanjem dobijamo:

2x2−2x=0  ⟹  2x(x−1)=02x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0

Rešenja su x=0 x = 0 i x=1. x = 1 . Pošto razmatramo interval x∈(0,1], x \in (0, 1] , prihvatamo samo rešenje x=1. x = 1 .

Računamo odgovarajuće y: y :

y=(1−1)2=0y = (1 - 1)^2 = 0

Konačan skup rešenja sistema je unija rešenja iz svih slučajeva:

(x,y)∈{(1−52,1−52),(0,1),(1,0)}(x, y) \in \left\{ \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right), (0, 1), (1, 0) \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti