1812.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina koje se svode na homogene (zadaci 333-334): 3x2−7xy+4y2=22, 3x^2 - 7xy + 4y^2 = 22 , 5x2−8xy+5y2=50. 5x^2 - 8xy + 5y^2 = 50 .

{3x2−7xy+4y2=225x2−8xy+5y2=50\begin{cases} 3x^2 - 7xy + 4y^2 = 22 \\ 5x^2 - 8xy + 5y^2 = 50 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo eliminisali slobodne članove, pomnožićemo prvu jednačinu sa 25, a drugu sa 11.

{25⋅(3x2−7xy+4y2)=25⋅2211⋅(5x2−8xy+5y2)=11⋅50\begin{cases} 25 \cdot (3x^2 - 7xy + 4y^2) = 25 \cdot 22 \\ 11 \cdot (5x^2 - 8xy + 5y^2) = 11 \cdot 50 \end{cases}

Nakon množenja dobijamo sistem u kom su desne strane jednake:

{75x2−175xy+100y2=55055x2−88xy+55y2=550\begin{cases} 75x^2 - 175xy + 100y^2 = 550 \\ 55x^2 - 88xy + 55y^2 = 550 \end{cases}

Izjednačavanjem levih strana dobijamo:

75x2−175xy+100y2=55x2−88xy+55y275x^2 - 175xy + 100y^2 = 55x^2 - 88xy + 55y^2

Prebacivanjem svih članova na levu stranu i sređivanjem dobijamo homogenu jednačinu:

20x2−87xy+45y2=020x^2 - 87xy + 45y^2 = 0

Pošto y=0 y=0 ne daje rešenje sistema (jer bi tada bilo 20x2=0  ⟹  x=0, 20x^2 = 0 \implies x=0 , a (0,0) (0,0) ne zadovoljava jednačine), možemo podeliti jednačinu sa y2 y^2 i uvesti smenu t=xy: t = \frac{x}{y} :

20t2−87t+45=020t^2 - 87t + 45 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=87±(−87)2−4⋅20⋅452⋅20=87±7569−360040=87±6340t_{1,2} = \frac{87 \pm \sqrt{(-87)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 45}}{2 \cdot 20} = \frac{87 \pm \sqrt{7569 - 3600}}{40} = \frac{87 \pm 63}{40}

Dobijamo dva rešenja za t: t :

t1=15040=154,t2=2440=35t_1 = \frac{150}{40} = \frac{15}{4}, \quad t_2 = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}

Slučaj 1: Za t=154, t = \frac{15}{4} , imamo x=154y. x = \frac{15}{4}y . Zamenjujemo u prvu jednačinu:

3(154y)2−7(154y)y+4y2=223\left(\frac{15}{4}y\right)^2 - 7\left(\frac{15}{4}y\right)y + 4y^2 = 22

Sređujemo jednačinu:

67516y2−1054y2+4y2=22\frac{675}{16}y^2 - \frac{105}{4}y^2 + 4y^2 = 22

Dovodimo na zajednički imenilac:

675−420+6416y2=22  ⟹  31916y2=22\frac{675 - 420 + 64}{16}y^2 = 22 \implies \frac{319}{16}y^2 = 22

Rešavamo po y2: y^2 :

y2=22⋅16319=2⋅11⋅1629⋅11=3229y^2 = \frac{22 \cdot 16}{319} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 16}{29 \cdot 11} = \frac{32}{29}

Dobijamo vrednosti za y: y :

y=±3229=±4229=±45829y = \pm \sqrt{\frac{32}{29}} = \pm \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{29}} = \pm \frac{4\sqrt{58}}{29}

Računamo odgovarajuće vrednosti za x x koristeći x=154y: x = \frac{15}{4}y :

x=±154⋅45829=±155829x = \pm \frac{15}{4} \cdot \frac{4\sqrt{58}}{29} = \pm \frac{15\sqrt{58}}{29}

Slučaj 2: Za t=35, t = \frac{3}{5} , imamo x=35y. x = \frac{3}{5}y . Zamenjujemo u prvu jednačinu:

3(35y)2−7(35y)y+4y2=223\left(\frac{3}{5}y\right)^2 - 7\left(\frac{3}{5}y\right)y + 4y^2 = 22

Sređujemo jednačinu:

2725y2−215y2+4y2=22\frac{27}{25}y^2 - \frac{21}{5}y^2 + 4y^2 = 22

Dovodimo na zajednički imenilac:

27−105+10025y2=22  ⟹  2225y2=22\frac{27 - 105 + 100}{25}y^2 = 22 \implies \frac{22}{25}y^2 = 22

Rešavamo po y2 y^2 i dobijamo vrednosti za y: y :

y2=25  ⟹  y=±5y^2 = 25 \implies y = \pm 5

Računamo odgovarajuće vrednosti za x x koristeći x=35y: x = \frac{3}{5}y :

x=±35⋅5=±3x = \pm \frac{3}{5} \cdot 5 = \pm 3

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi (x,y): (x, y) :

(x,y)∈{(3,5),(−3,−5),(155829,45829),(−155829,−45829)}(x, y) \in \left\{ (3, 5), (-3, -5), \left( \frac{15\sqrt{58}}{29}, \frac{4\sqrt{58}}{29} \right), \left( -\frac{15\sqrt{58}}{29}, -\frac{4\sqrt{58}}{29} \right) \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti