Sistem koji se svodi na homogeni: 22 i 50

Da bismo eliminisali slobodne članove, pomnožićemo prvu jednačinu sa 25, a drugu sa 11.

\begin{cases} 25 \cdot (3x^2 - 7xy + 4y^2) = 25 \cdot 22 \\ 11 \cdot (5x^2 - 8xy + 5y^2) = 11 \cdot 50 \end{cases}

Nakon množenja dobijamo sistem u kom su desne strane jednake:

\begin{cases} 75x^2 - 175xy + 100y^2 = 550 \\ 55x^2 - 88xy + 55y^2 = 550 \end{cases}

Izjednačavanjem levih strana dobijamo:

75x^2 - 175xy + 100y^2 = 55x^2 - 88xy + 55y^2

Prebacivanjem svih članova na levu stranu i sređivanjem dobijamo homogenu jednačinu:

20x^2 - 87xy + 45y^2 = 0

Pošto $y=0$ ne daje rešenje sistema (jer bi tada bilo $20x^2 = 0 \implies x=0 ,$ a $(0,0)$ ne zadovoljava jednačine), možemo podeliti jednačinu sa $y^2$ i uvesti smenu $t = \frac{x}{y} :$

20t^2 - 87t + 45 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

t_{1,2} = \frac{87 \pm \sqrt{(-87)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 45}}{2 \cdot 20} = \frac{87 \pm \sqrt{7569 - 3600}}{40} = \frac{87 \pm 63}{40}

Dobijamo dva rešenja za $t :$

t_1 = \frac{150}{40} = \frac{15}{4}, \quad t_2 = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}

Slučaj 1: Za $t = \frac{15}{4} ,$ imamo $x = \frac{15}{4}y .$ Zamenjujemo u prvu jednačinu:

3\left(\frac{15}{4}y\right)^2 - 7\left(\frac{15}{4}y\right)y + 4y^2 = 22

Sređujemo jednačinu:

\frac{675}{16}y^2 - \frac{105}{4}y^2 + 4y^2 = 22

Dovodimo na zajednički imenilac:

\frac{675 - 420 + 64}{16}y^2 = 22 \implies \frac{319}{16}y^2 = 22

Rešavamo po $y^2 :$

y^2 = \frac{22 \cdot 16}{319} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 16}{29 \cdot 11} = \frac{32}{29}

Dobijamo vrednosti za $y :$

y = \pm \sqrt{\frac{32}{29}} = \pm \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{29}} = \pm \frac{4\sqrt{58}}{29}

Računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći $x = \frac{15}{4}y :$

x = \pm \frac{15}{4} \cdot \frac{4\sqrt{58}}{29} = \pm \frac{15\sqrt{58}}{29}

Slučaj 2: Za $t = \frac{3}{5} ,$ imamo $x = \frac{3}{5}y .$ Zamenjujemo u prvu jednačinu:

3\left(\frac{3}{5}y\right)^2 - 7\left(\frac{3}{5}y\right)y + 4y^2 = 22

Sređujemo jednačinu:

\frac{27}{25}y^2 - \frac{21}{5}y^2 + 4y^2 = 22

Dovodimo na zajednički imenilac:

\frac{27 - 105 + 100}{25}y^2 = 22 \implies \frac{22}{25}y^2 = 22

Rešavamo po $y^2$ i dobijamo vrednosti za $y :$

y^2 = 25 \implies y = \pm 5

Računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći $x = \frac{3}{5}y :$

x = \pm \frac{3}{5} \cdot 5 = \pm 3

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \left\{ (3, 5), (-3, -5), \left( \frac{15\sqrt{58}}{29}, \frac{4\sqrt{58}}{29} \right), \left( -\frac{15\sqrt{58}}{29}, -\frac{4\sqrt{58}}{29} \right) \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

333.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci