1827. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz druge jednačine izražavamo $y$ preko $x :$

4y = m - 3x \implies y = \frac{m - 3x}{4}

Zamenjujemo dobijeni izraz za $y$ u prvu jednačinu:

x^2 + \left(\frac{m - 3x}{4}\right)^2 = 25

Kvadriramo izraz u zagradi i množimo celu jednačinu sa $16$ kako bismo se oslobodili razlomka:

x^2 + \frac{m^2 - 6mx + 9x^2}{16} = 25 \implies 16x^2 + m^2 - 6mx + 9x^2 = 400

Sređujemo jednačinu tako da dobijemo kvadratnu jednačinu po $x :$

25x^2 - 6mx + m^2 - 400 = 0

Broj rešenja sistema zavisi od diskriminante ove kvadratne jednačine. Računamo diskriminantu $D :$

D = (-6m)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (m^2 - 400) = 36m^2 - 100m^2 + 40000 = -64m^2 + 40000

Sistem ima dva različita realna rešenja kada je $D > 0 :$

-64m^2 + 40000 > 0 \implies 64m^2 < 40000 \implies m^2 < 625 \implies m \in (-25, 25)

Za $m \in (-25, 25) ,$ rešenja za $x$ su:

x_{1,2} = \frac{6m \pm \sqrt{-64m^2 + 40000}}{50} = \frac{6m \pm 8\sqrt{625 - m^2}}{50} = \frac{3m \pm 4\sqrt{625 - m^2}}{25}

Odgovarajuće vrednosti za $y$ dobijamo zamenom $x_{1,2}$ u izraz za $y :$

y_{1,2} = \frac{m - 3x_{1,2}}{4} = \frac{m - 3 \cdot \frac{3m \pm 4\sqrt{625 - m^2}}{25}}{4} = \frac{25m - 9m \mp 12\sqrt{625 - m^2}}{100} = \frac{4m \mp 3\sqrt{625 - m^2}}{25}

Sistem ima jedno (dvostruko) realno rešenje kada je $D = 0 :$

-64m^2 + 40000 = 0 \implies m^2 = 625 \implies m = 25 \lor m = -25

Za $m = 25 ,$ rešenje je:

x = \frac{3 \cdot 25}{25} = 3, \quad y = \frac{4 \cdot 25}{25} = 4 \implies (x, y) = (3, 4)

Za $m = -25 ,$ rešenje je:

x = \frac{3 \cdot (-25)}{25} = -3, \quad y = \frac{4 \cdot (-25)}{25} = -4 \implies (x, y) = (-3, -4)

Sistem nema realnih rešenja kada je $D < 0 :$

-64m^2 + 40000 < 0 \implies m^2 > 625 \implies m \in (-\infty, -25) \cup (25, +\infty)

1827.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate