1826.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina u skupu realnih brojeva (zadaci 335-347): x4+x2y2+y4=481, x^4 + x^2y^2 + y^4 = 481 , x2+xy+y2=37. x^2 + xy + y^2 = 37 .

{x4+x2y2+y4=481x2+xy+y2=37\begin{cases} x^4 + x^2y^2 + y^4 = 481 \\ x^2 + xy + y^2 = 37 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se izraz x4+x2y2+y4 x^4 + x^2y^2 + y^4 može faktorisati dodavanjem i oduzimanjem x2y2: x^2y^2 :

x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4−x2y2=(x2+y2)2−(xy)2x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2

Primenom razlike kvadrata dobijamo:

(x2+y2)2−(xy)2=(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)(x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)

Zamenom ovog identiteta u prvu jednačinu sistema dobijamo:

(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)=481(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) = 481

Kako je iz druge jednačine x2+xy+y2=37, x^2 + xy + y^2 = 37 , možemo to zameniti u prethodni izraz:

(x2−xy+y2)⋅37=481(x^2 - xy + y^2) \cdot 37 = 481

Deljenjem sa 37 računamo vrednost drugog faktora:

x2−xy+y2=13x^2 - xy + y^2 = 13

Sada imamo jednostavniji sistem od dve jednačine:

{x2+xy+y2=37x2−xy+y2=13\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 37 \\ x^2 - xy + y^2 = 13 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo:

2xy=24  ⟹  xy=122xy = 24 \implies xy = 12

Sabiranjem prve i druge jednačine dobijamo:

2x2+2y2=50  ⟹  x2+y2=252x^2 + 2y^2 = 50 \implies x^2 + y^2 = 25

Sada imamo novi ekvivalentni sistem:

{x2+y2=25xy=12\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}

Koristeći identitete za kvadrat binoma, računamo (x+y)2 (x+y)^2 i (x−y)2: (x-y)^2 :

(x+y)2=x2+2xy+y2=25+2⋅12=49(x−y)2=x2−2xy+y2=25−2⋅12=1\begin{aligned} (x+y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 2 \cdot 12 = 49 \\ (x-y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 = 25 - 2 \cdot 12 = 1 \end{aligned}

Iz ovoga slede moguće vrednosti za x+y x+y i x−y: x-y :

x+y=±7x−y=±1\begin{aligned} x+y &= \pm 7 \\ x-y &= \pm 1 \end{aligned}

Ovo nam daje četiri moguća sistema linearnih jednačina. Rešavamo prvi sistem:

{x+y=7x−y=1  ⟹  2x=8  ⟹  x=4,y=3\begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = 1 \end{cases} \implies 2x = 8 \implies x = 4, y = 3

Rešavamo drugi sistem:

{x+y=7x−y=−1  ⟹  2x=6  ⟹  x=3,y=4\begin{cases} x+y = 7 \\ x-y = -1 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, y = 4

Rešavamo treći sistem:

{x+y=−7x−y=1  ⟹  2x=−6  ⟹  x=−3,y=−4\begin{cases} x+y = -7 \\ x-y = 1 \end{cases} \implies 2x = -6 \implies x = -3, y = -4

Rešavamo četvrti sistem:

{x+y=−7x−y=−1  ⟹  2x=−8  ⟹  x=−4,y=−3\begin{cases} x+y = -7 \\ x-y = -1 \end{cases} \implies 2x = -8 \implies x = -4, y = -3

Skup svih rešenja početnog sistema je:

(x,y)∈{(4,3),(3,4),(−3,−4),(−4,−3)}(x, y) \in \{(4, 3), (3, 4), (-3, -4), (-4, -3)\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti