1825. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz linearne jednačine izražavamo nepoznatu $x :$

x = y + k

Zamenjujemo izraz za $x$ u prvu jednačinu sistema:

(y + k)^2 + y^2 = 4

Kvadriramo binom i sređujemo jednačinu tako da dobijemo kvadratnu jednačinu po $y :$

y^2 + 2ky + k^2 + y^2 - 4 = 0 \\ 2y^2 + 2ky + k^2 - 4 = 0

Broj rešenja sistema zavisi od diskriminante dobijene kvadratne jednačine. Računamo diskriminantu $D :$

D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 - 4) \\ D = 4k^2 - 8k^2 + 32 = 32 - 4k^2

Sistem ima dva različita realna rešenja kada je $D > 0 :$

32 - 4k^2 > 0 \implies k^2 < 8 \implies k \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})

Za $k \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) ,$ nalazimo rešenja za $y :$

y_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{32 - 4k^2}}{4} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{8 - k^2}}{4} = \frac{-k \pm \sqrt{8 - k^2}}{2}

Odgovarajuće vrednosti za $x$ dobijamo iz $x = y + k :$

x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{8 - k^2}}{2} + k = \frac{k \pm \sqrt{8 - k^2}}{2}

Sistem ima jedno dvostruko realno rešenje kada je $D = 0 :$

32 - 4k^2 = 0 \implies k^2 = 8 \implies k = \pm 2\sqrt{2}

Za $k = \pm 2\sqrt{2} ,$ rešenje za $y$ je:

y = \frac{-2k}{4} = -\frac{k}{2}

Odgovarajuća vrednost za $x$ je:

x = -\frac{k}{2} + k = \frac{k}{2}

Sistem nema realnih rešenja kada je $D < 0 :$

32 - 4k^2 < 0 \implies k^2 > 8 \implies k \in (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)

Konačno rešenje sistema u zavisnosti od parametra $k$ možemo zapisati kao:

\begin{cases} \left( \frac{k \pm \sqrt{8 - k^2}}{2}, \frac{-k \pm \sqrt{8 - k^2}}{2} \right), & k \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \\ \left( \frac{k}{2}, -\frac{k}{2} \right), & k \in \{-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}\} \\ \emptyset, & k \in (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty) \end{cases}

1825.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate