1787. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Prva jednačina je homogena jednačina drugog stepena. Rešavamo je po $x$ (ili deljenjem sa $y^2$ ). Posmatrajmo je kao kvadratnu jednačinu po $x :$

x^2 - (4y)x + 3y^2 = 0

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x_{1,2} = \frac{4y \pm \sqrt{(4y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3y^2}}{2 \cdot 1}

Sređujemo izraz pod korenom:

x_{1,2} = \frac{4y \pm \sqrt{16y^2 - 12y^2}}{2} = \frac{4y \pm \sqrt{4y^2}}{2} = \frac{4y \pm 2y}{2}

Dobijamo dva linearna odnosa između $x$ i $y :$

x_1 = \frac{4y + 2y}{2} = 3y, \quad x_2 = \frac{4y - 2y}{2} = y

Sada rešavamo dva odvojena sistema. Prvi slučaj je kada je $x = 3y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu $x + 2y = 5 :$

3y + 2y = 5 \implies 5y = 5 \implies y = 1

Računamo odgovarajuću vrednost za $x$ u prvom slučaju:

x = 3 \cdot 1 = 3

Drugi slučaj je kada je $x = y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu $x + 2y = 5 :$

y + 2y = 5 \implies 3y = 5 \implies y = \frac{5}{3}

Računamo odgovarajuću vrednost za $x$ u drugom slučaju:

x = y = \frac{5}{3}

Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x, y) \in \left\{ (3, 1), \left( \frac{5}{3}, \frac{5}{3} \right) \right\}

1787.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate