1788.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina i dati odgovarajuću geometrijsku interpretaciju:

{x2+2x−y=0x2+2x+y=0\begin{cases} x^2 + 2x - y = 0 \\ x^2 + 2x + y = 0 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izraziti y y iz obe jednačine kako bismo lakše uočili o kojim se krivama radi.

{y=x2+2xy=−(x2+2x)\begin{cases} y = x^2 + 2x \\ y = -(x^2 + 2x) \end{cases}

Sistem rešavamo metodom suprotnih koeficijenata ili metodom zamene. Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo:

(x2+2x−y)+(x2+2x+y)=0+0(x^2 + 2x - y) + (x^2 + 2x + y) = 0 + 0

Sređivanjem izraza dobijamo kvadratnu jednačinu po x: x :

2x2+4x=02x^2 + 4x = 0

Faktorišemo dobijenu jednačinu kako bismo našli nule:

2x(x+2)=02x(x + 2) = 0

Rešenja po x x su:

x1=0,x2=−2x_1 = 0, \quad x_2 = -2

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za y y uvrštavanjem u prvu jednačinu y=x2+2x: y = x^2 + 2x :

Za x1=0:y1=02+2(0)=0Za x2=−2:y2=(−2)2+2(−2)=4−4=0\begin{aligned} &\text{Za } x_1 = 0: y_1 = 0^2 + 2(0) = 0 \\ &\text{Za } x_2 = -2: y_2 = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 \end{aligned}

Rešenja sistema su uređeni parovi:

(x,y)∈{(0,0),(−2,0)}(x, y) \in \{(0, 0), (-2, 0)\}

Geometrijska interpretacija: Jednačine predstavljaju dve parabole. Prva parabola y=x2+2x y = x^2 + 2x je okrenuta otvorom nagore, a druga y=−x2−2x y = -x^2 - 2x otvorom nadole. Rešenja sistema su njihove presečne tačke.

M1(0,0),M2(−2,0)M_1(0, 0), \quad M_2(-2, 0)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti