1786. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Prvo transformišemo drugu jednačinu sistema svođenjem na zajednički imenilac. Uz uslov $x \neq 0$ i $y \neq 0 ,$ imamo:

\frac{y^2 + x^2}{x^2 y^2} = \frac{1}{2}

Zamenimo vrednost $x^2 + y^2 = 8$ iz prve jednačine u transformisanu drugu jednačinu:

\frac{8}{x^2 y^2} = \frac{1}{2}

Iz prethodne jednačine računamo proizvod kvadrata nepoznatih:

x^2 y^2 = 16 \implies (xy)^2 = 16

Sada imamo sistem koji se svodi na poznavanje zbira i proizvoda kvadrata promenljivih:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 8 \\ x^2 y^2 = 16 \end{cases}

Uvodimo smene $u = x^2$ i $v = y^2 .$ Prema Vijetovim pravilima, $u$ i $v$ su rešenja kvadratne jednačine po promenljivoj $t :$

t^2 - (u+v)t + uv = 0 \implies t^2 - 8t + 16 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

(t - 4)^2 = 0 \implies t_1 = t_2 = 4

Vraćamo smene za $x^2$ i $y^2 :$

x^2 = 4, \quad y^2 = 4

Iz $x^2 = 4$ dobijamo $x = \pm 2 ,$ a iz $y^2 = 4$ dobijamo $y = \pm 2 .$ Kombinovanjem ovih vrednosti dobijamo četiri rešenja sistema:

(x, y) \in \{(2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)\}

1786.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate