Homogena jednačina 3x kvadrat − 7xy + 4y kvadrat = 0

Prva jednačina $3x^2 - 7xy + 4y^2 = 0$ je homogena jednačina drugog stepena. Rešavamo je po jednoj promenljivoj (npr. $x$ ) tretirajući drugu kao parametar, ili deljenjem sa $y^2$ (uz proveru $y=0$ ). Ovde ćemo je rastaviti na činioce.

3x^2 - 3xy - 4xy + 4y^2 = 0 \\ 3x(x - y) - 4y(x - y) = 0 \\ (3x - 4y)(x - y) = 0

Iz proizvoda dobijamo dva slučaja:

1) \ 3x - 4y = 0 \implies x = \frac{4}{3}y \\ 2) \ x - y = 0 \implies x = y

Razmatramo prvi slučaj $x = \frac{4}{3}y$ i zamenjujemo u drugu jednačinu $3x + y = 10 :$

3\left(\frac{4}{3}y\right) + y = 10 \\ 4y + y = 10 \\ 5y = 10 \\ y_1 = 2

Sada računamo odgovarajuću vrednost za $x_1 :$

x_1 = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3}

Razmatramo drugi slučaj $x = y$ i zamenjujemo u drugu jednačinu $3x + y = 10 :$

3y + y = 10 \\ 4y = 10 \\ y_2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

Sada računamo odgovarajuću vrednost za $x_2 :$

x_2 = y_2 = \frac{5}{2}

Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x_1, y_1) = \left(\frac{8}{3}, 2\right), \quad (x_2, y_2) = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)

Započni učenje

Privatni časovi

329.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci