Sistem sa parametrom a: Vijetove formule

Ovaj sistem jednačina predstavlja direktnu primenu Vijetovih pravila. Ako su $x$ i $y$ rešenja sistema, oni su ujedno i koreni kvadratne jednačine po promenljivoj $t :$

t^2 - (x+y)t + xy = 0

Zamenjujemo date vrednosti za zbir i proizvod u kvadratnu jednačinu:

t^2 - \frac{3}{2}at + \frac{1}{2}a^2 = 0

Množimo celu jednačinu sa 2 kako bismo uklonili razlomke:

2t^2 - 3at + a^2 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine koristeći formulu za korene kvadratne jednačine:

t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a_{koef}}

Uvrštavamo koeficijente $A=2 ,$ $B=-3a$ i $C=a^2 :$

t_{1,2} = \frac{3a \pm \sqrt{(-3a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a^2}}{2 \cdot 2}

Sređujemo izraz pod korenom:

t_{1,2} = \frac{3a \pm \sqrt{9a^2 - 8a^2}}{4} = \frac{3a \pm \sqrt{a^2}}{4}

Kako je $\sqrt{a^2} = |a| ,$ rešenja su:

t_{1,2} = \frac{3a \pm a}{4}

Računamo pojedinačna rešenja za $t :$

t_1 = \frac{3a + a}{4} = \frac{4a}{4} = a \\ t_2 = \frac{3a - a}{4} = \frac{2a}{4} = \frac{1}{2}a

Budući da su $x$ i $y$ simetrični u sistemu, rešenja su uređeni parovi:

(x, y) \in \left\{ (a, \frac{1}{2}a), (\frac{1}{2}a, a) \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

328.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci