1784. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Primetimo da je druga jednačina razlika kvadrata, što možemo zapisati kao:

(x - y)(x + y) = 4ab

Uvodimo smene $u = x + y$ i $v = x - y .$ Sistem postaje:

\begin{cases} \frac{a}{u} + \frac{b}{v} = 1 \\ uv = 4ab \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $v$ preko $u :$

v = \frac{4ab}{u}

Zamenjujemo izraz za $v$ u prvu jednačinu:

\frac{a}{u} + \frac{b}{\frac{4ab}{u}} = 1 \implies \frac{a}{u} + \frac{bu}{4ab} = 1

Sređujemo jednačinu (uz uslov $a, b \neq 0$ ):

\frac{a}{u} + \frac{u}{4a} = 1

Množimo celu jednačinu sa $4au$ da bismo se oslobodili razlomaka:

4a^2 + u^2 = 4au \implies u^2 - 4au + 4a^2 = 0

Prepoznajemo kvadrat binoma:

(u - 2a)^2 = 0 \implies u = 2a

Sada računamo $v :$

v = \frac{4ab}{2a} = 2b

Vraćamo smene da bismo odredili $x$ i $y :$

\begin{cases} x + y = 2a \\ x - y = 2b \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo $2x ,$ a oduzimanjem $2y :$

2x = 2a + 2b \implies x = a + b \\ 2y = 2a - 2b \implies y = a - b

Konačno rešenje sistema je uređeni par:

(x, y) = (a + b, a - b)

1784.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate