1818.

Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina koje se svode na homogene (zadaci 333-334):

{x2−3xy+4y2=2−3x2+xy+5y2=−5\begin{cases} x^2 - 3xy + 4y^2 = 2 \\ -3x^2 + xy + 5y^2 = -5 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo sistem sveli na homogenu jednačinu, potrebno je da eliminišemo slobodne članove na desnoj strani. Pomnožićemo prvu jednačinu sa 5, 5 , a drugu sa 2. 2 .

{5x2−15xy+20y2=10−6x2+2xy+10y2=−10\begin{cases} 5x^2 - 15xy + 20y^2 = 10 \\ -6x^2 + 2xy + 10y^2 = -10 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo homogenu jednačinu drugog stepena:

(5x2−15xy+20y2)+(−6x2+2xy+10y2)=10−10(5x^2 - 15xy + 20y^2) + (-6x^2 + 2xy + 10y^2) = 10 - 10

Sređivanjem izraza dobijamo:

−x2−13xy+30y2=0-x^2 - 13xy + 30y^2 = 0

Množenjem sa −1 -1 dobijamo standardni oblik:

x2+13xy−30y2=0x^2 + 13xy - 30y^2 = 0

Pošto y=0 y = 0 nije rešenje sistema (jer bi tada iz prve jednačine sledilo x2=2, x^2 = 2 , a iz druge −3x2=−5, -3x^2 = -5 , što je kontradikcija), možemo podeliti jednačinu sa y2 y^2 i uvesti smenu t=xy, t = \frac{x}{y} , odnosno x=ty. x = ty .

(xy)2+13(xy)−30=0  ⟹  t2+13t−30=0\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 13\left(\frac{x}{y}\right) - 30 = 0 \implies t^2 + 13t - 30 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t: t :

t1,2=−13±132−4⋅1⋅(−30)2=−13±169+1202=−13±172t_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2} = \frac{-13 \pm 17}{2}

Rešenja za t t su:

t1=42=2,t2=−302=−15t_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{-30}{2} = -15

Prvi slučaj: t=2, t = 2 , što znači da je x=2y. x = 2y . Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu originalnog sistema:

(2y)2−3(2y)y+4y2=2(2y)^2 - 3(2y)y + 4y^2 = 2

Sređujemo jednačinu po y: y :

4y2−6y2+4y2=2  ⟹  2y2=2  ⟹  y2=14y^2 - 6y^2 + 4y^2 = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1

Rešenja za y y u prvom slučaju su y=1 y = 1 i y=−1. y = -1 . Računamo odgovarajuće vrednosti za x x koristeći x=2y: x = 2y :

{y1=1  ⟹  x1=2y2=−1  ⟹  x2=−2\begin{cases} y_1 = 1 \implies x_1 = 2 \\ y_2 = -1 \implies x_2 = -2 \end{cases}

Drugi slučaj: t=−15, t = -15 , što znači da je x=−15y. x = -15y . Zamenjujemo ovo u prvu jednačinu originalnog sistema:

(−15y)2−3(−15y)y+4y2=2(-15y)^2 - 3(-15y)y + 4y^2 = 2

Sređujemo jednačinu po y: y :

225y2+45y2+4y2=2  ⟹  274y2=2  ⟹  y2=1137225y^2 + 45y^2 + 4y^2 = 2 \implies 274y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{1}{137}

Rešenja za y y u drugom slučaju dobijamo korenovanjem i racionalizacijom. Zatim računamo odgovarajuće vrednosti za x x koristeći x=−15y: x = -15y :

{y3=137137  ⟹  x3=−15137137y4=−137137  ⟹  x4=15137137\begin{cases} y_3 = \frac{\sqrt{137}}{137} \implies x_3 = -\frac{15\sqrt{137}}{137} \\ y_4 = -\frac{\sqrt{137}}{137} \implies x_4 = \frac{15\sqrt{137}}{137} \end{cases}

Konačan skup rešenja sistema je:

(x,y)∈{(2,1),(−2,−1),(−15137137,137137),(15137137,−137137)}(x, y) \in \left\{ (2, 1), (-2, -1), \left(-\frac{15\sqrt{137}}{137}, \frac{\sqrt{137}}{137}\right), \left(\frac{15\sqrt{137}}{137}, -\frac{\sqrt{137}}{137}\right) \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti