1415.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realne vrednosti x x i y y za koje su kompleksni brojevi z1=y2−7y+9xi z_1 = y^2 - 7y + 9xi i z2=−12+20i+x2i z_2 = -12 + 20i + x^2i jednaki.

z1=z2z_1 = z_2
REŠENJE ZADATKA

Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im jednaki realni delovi i jednaki imaginarni delovi. Prvo identifikujemo realne i imaginarne delove za z1 z_1 i z2. z_2 .

Re(z1)=y2−7y,Im(z1)=9xRe(z2)=−12,Im(z2)=20+x2\begin{aligned} &\text{Re}(z_1) = y^2 - 7y, \quad \text{Im}(z_1) = 9x \\ &\text{Re}(z_2) = -12, \quad \text{Im}(z_2) = 20 + x^2 \end{aligned}

Postavljamo sistem jednačina izjednačavanjem odgovarajućih delova:

{y2−7y=−129x=20+x2\begin{cases} y^2 - 7y = -12 \\ 9x = 20 + x^2 \end{cases}

Rešavamo prvu jednačinu po y. y . Prebacujemo sve članove na jednu stranu da dobijemo kvadratnu jednačinu:

y2−7y+12=0y^2 - 7y + 12 = 0

Koristimo kvadratnu formulu ili faktorizaciju za rešavanje jednačine po y: y :

y1,2=7±(−7)2−4⋅1⋅122=7±12y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}

Dobijamo rešenja za y: y :

y1=4,y2=3y_1 = 4, \quad y_2 = 3

Sada rešavamo drugu jednačinu po x: x :

x2−9x+20=0x^2 - 9x + 20 = 0

Računamo diskriminantu i rešenja za x: x :

x1,2=9±81−802=9±12x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}

Dobijamo rešenja za x: x :

x1=5,x2=4x_1 = 5, \quad x_2 = 4

Konačna rešenja su sve kombinacije dobijenih vrednosti pošto su jednačine nezavisne:

x∈{4,5},y∈{3,4}x \in \{4, 5\}, \quad y \in \{3, 4\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti