1414. Kompleksni brojevi

Kompleksni broj $z$ zapisujemo u algebarskom obliku $z = x + iy ,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi. Iz uslova zadatka znamo realni deo $x .$

x = \text{Re}(z) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Modul kompleksnog broja $z = x + iy$ definisan je formulom $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} .$ Kvadriranjem ove formule dobijamo relaciju:

|z|^2 = x^2 + y^2

Zamenjujemo poznate vrednosti $|z| = \sqrt{3}$ i $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ u jednačinu:

(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + y^2

Računamo kvadrate i sređujemo jednačinu kako bismo pronašli $y^2 :$

3 = \frac{2}{4} + y^2 \implies 3 = \frac{1}{2} + y^2

Izražavamo $y^2$ i oduzimamo razlomke:

y^2 = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6 - 1}{2} = \frac{5}{2}

Korenujemo jednačinu da bismo dobili vrednost imaginarnog dela $y .$ Ne zaboravljamo da postoje dva moguća rešenja:

y = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}

Konačno, zapisujemo oba moguća rešenja za kompleksni broj $z :$

z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{10}}{2}, \quad z_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{10}}{2}

96