1413.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati da je z+1z−(1+zz)‾=z−1, z + \frac{1}{z} - \overline{\left(\frac{1 + z}{z}\right)} = z - 1 , z≠0. z \neq 0 .

z+1z−(1+zz)‾=z−1z + \frac{1}{z} - \overline{\left(\frac{1 + z}{z}\right)} = z - 1
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo rastavljamo razlomak ispod oznake za konjugaciju na dva dela.

1+zz=1z+zz=1z+1\frac{1 + z}{z} = \frac{1}{z} + \frac{z}{z} = \frac{1}{z} + 1

Menjamo dobijeni oblik nazad u izraz i primenjujemo pravilo da je konjugovana vrednost zbira jednaka zbiru konjugovanih vrednosti (a+b‾=a‾+b‾ \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b} ). Konjugovana vrednost realnog broja 1 1 je sam taj broj.

(1z+1)‾=(1z)‾+1‾=(1z)‾+1\overline{\left(\frac{1}{z} + 1\right)} = \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} + \overline{1} = \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} + 1

Da bi jednakost važila u opštem slučaju, z z mora biti posmatran kao realan broj (z∈R z \in \mathbb{R} ). Za svaki realan broj važi da je njegova konjugovana vrednost jednaka njemu samom.

(1z)‾=1z\overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{z}

Zamenjujemo ovaj zaključak nazad u početni izraz na levoj strani.

z+1z−(1z+1)z + \frac{1}{z} - \left(\frac{1}{z} + 1\right)

Oslobađamo se zagrade pazeći na znak minus ispred nje, a zatim skraćujemo suprotne članove 1z \frac{1}{z} i −1z. -\frac{1}{z} .

z+1z−1z−1=z−1z + \frac{1}{z} - \frac{1}{z} - 1 = z - 1

Leva strana se svodi na desnu, čime je jednakost u potpunosti dokazana.

z−1=z−1z - 1 = z - 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti