1412. Kompleksni brojevi

Prvo računamo modul kompleksnog broja $z .$

|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

Sada računamo vrednost $z^2$ koja nam je potrebna za imenilac funkcije $f(z) .$

z^2 = (1 + 2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2i + (2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i

Zamenjujemo vrednosti $z$ i $z^2$ u izraz za $f(z) .$

f(z) = \frac{7 - (1 + 2i)}{1 - (-3 + 4i)} = \frac{7 - 1 - 2i}{1 + 3 - 4i} = \frac{6 - 2i}{4 - 4i}

Možemo uprostiti razlomak deljenjem brojioca i imenioca sa 2.

f(z) = \frac{2(3 - i)}{2(2 - 2i)} = \frac{3 - i}{2 - 2i}

Računamo modul funkcije $|f(z)|$ koristeći osobinu da je modul količnika jednak količniku modula.

|f(z)| = \frac{|3 - i|}{|2 - 2i|} = \frac{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{\sqrt{9 + 1}}{\sqrt{4 + 4}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{8}}

Uprošćavamo izraz za $|f(z)| .$

|f(z)| = \sqrt{\frac{10}{8}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

Proveravamo jednakost $|z| = 2|f(z)|$ zamenom dobijenih vrednosti.

2|f(z)| = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}

Pošto je $|z| = \sqrt{5}$ i $2|f(z)| = \sqrt{5} ,$ zaključujemo da je tvrdnja dokazana.

|z| = 2|f(z)| = \sqrt{5}

1412.Kompleksni brojevi