Dokaz: (z - 1)/(z + 1) je čisto imaginaran za |z| = 1

Neka je $z = x + iy ,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi. Uslov $z \neq \pm 1$ znači da ne važi istovremeno $x = \pm 1$ i $y = 0 .$ Izrazimo dati razlomak preko realnog i imaginarnog dela.

w = \frac{x + iy - 1}{x + iy + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}

Vršimo racionalisanje imenioca tako što brojilac i imenilac množimo konjugovano-kompleksnom vrednošću imenioca, što je $(x + 1) - iy .$

w = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy} \cdot \frac{(x + 1) - iy}{(x + 1) - iy}

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu. U imeniocu dobijamo kvadrat modula, koji je realan broj.

w = \frac{(x - 1)(x + 1) - i y (x - 1) + i y (x + 1) - i^2 y^2}{(x + 1)^2 + y^2}

Daljim sređivanjem brojioca, koristeći činjenicu da je $i^2 = -1 ,$ grupišemo realne i imaginarne članove.

w = \frac{x^2 - 1 + y^2 + i(-xy + y + xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{x^2 + y^2 - 1 + i(2y)}{(x + 1)^2 + y^2}

Broj $w$ je čisto imaginaran ako i samo ako je njegov realni deo jednak nuli, uz uslov da je imaginarni deo različit od nule (što je ovde ispunjeno jer je $z \neq 1$ ).

\text{Re}(w) = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x + 1)^2 + y^2} = 0

Razlomak je jednak nuli ako je brojilac jednak nuli. Iz toga sledi traženi uslov.

x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1

Kako je definicija modula kompleksnog broja $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} ,$ dobijeni rezultat direktno implicira traženu jednakost.

|z|^2 = 1 \implies |z| = 1

Započni učenje

Privatni časovi

112

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci