1399.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Ako je z z kompleksan broj različit od 1 1 i −1 -1 dokazati da je z−1z+1 \frac{z - 1}{z + 1} čisto imaginaran ako i samo ako je ∣z∣=1. |z| = 1 .

z∈C∖{−1,1},Re(z−1z+1)=0  ⟺  ∣z∣=1z \in \mathbb{C} \setminus \{-1, 1\}, \quad \text{Re}\left(\frac{z - 1}{z + 1}\right) = 0 \iff |z| = 1
REŠENJE ZADATKA

Neka je z=x+iy, z = x + iy , gde su x x i y y realni brojevi. Uslov z≠±1 z \neq \pm 1 znači da ne važi istovremeno x=±1 x = \pm 1 i y=0. y = 0 . Izrazimo dati razlomak preko realnog i imaginarnog dela.

w=x+iy−1x+iy+1=(x−1)+iy(x+1)+iyw = \frac{x + iy - 1}{x + iy + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}

Vršimo racionalisanje imenioca tako što brojilac i imenilac množimo konjugovano-kompleksnom vrednošću imenioca, što je (x+1)−iy. (x + 1) - iy .

w=(x−1)+iy(x+1)+iy⋅(x+1)−iy(x+1)−iyw = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy} \cdot \frac{(x + 1) - iy}{(x + 1) - iy}

Sređujemo izraz u brojiocu i imeniocu. U imeniocu dobijamo kvadrat modula, koji je realan broj.

w=(x−1)(x+1)−iy(x−1)+iy(x+1)−i2y2(x+1)2+y2w = \frac{(x - 1)(x + 1) - i y (x - 1) + i y (x + 1) - i^2 y^2}{(x + 1)^2 + y^2}

Daljim sređivanjem brojioca, koristeći činjenicu da je i2=−1, i^2 = -1 , grupišemo realne i imaginarne članove.

w=x2−1+y2+i(−xy+y+xy+y)(x+1)2+y2=x2+y2−1+i(2y)(x+1)2+y2w = \frac{x^2 - 1 + y^2 + i(-xy + y + xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{x^2 + y^2 - 1 + i(2y)}{(x + 1)^2 + y^2}

Broj w w je čisto imaginaran ako i samo ako je njegov realni deo jednak nuli, uz uslov da je imaginarni deo različit od nule (što je ovde ispunjeno jer je z≠1 z \neq 1 ).

Re(w)=x2+y2−1(x+1)2+y2=0\text{Re}(w) = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x + 1)^2 + y^2} = 0

Razlomak je jednak nuli ako je brojilac jednak nuli. Iz toga sledi traženi uslov.

x2+y2−1=0  ⟹  x2+y2=1x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1

Kako je definicija modula kompleksnog broja ∣z∣=x2+y2, |z| = \sqrt{x^2 + y^2} , dobijeni rezultat direktno implicira traženu jednakost.

∣z∣2=1  ⟹  ∣z∣=1|z|^2 = 1 \implies |z| = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti