Dokaz: (1 + i) na 4k je realan broj

Prvo ćemo ispitati izraz $(1 + i)^{4k} .$ Koristeći pravila stepenovanja, izraz možemo transformisati tako da prvo izračunamo kvadrat binoma.

(1 + i)^{4k} = ((1 + i)^2)^{2k}

Računamo kvadrat binoma $(1 + i)^2 :$

(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Sada zamenjujemo dobijeni rezultat u početni izraz i ponovo primenjujemo pravilo stepenovanja proizvoda $(ab)^n = a^n b^n :$

(2i)^{2k} = 2^{2k} \cdot (i^2)^k

Znamo da je $i^2 = -1 ,$ pa dobijamo:

2^{2k} \cdot (-1)^k

Pošto su $2^{2k}$ i $(-1)^k$ realni brojevi za svako $k \in \mathbb{N} ,$ njihov proizvod je realan broj. Time je prvi deo tvrđenja dokazan.

(1 + i)^{4k} \in \mathbb{R}

Sada ispitujemo izraz $(1 - i)^{4k+2} .$ Transformišemo ga na sličan način:

(1 - i)^{4k+2} = ((1 - i)^2)^{2k+1}

Računamo kvadrat binoma $(1 - i)^2 :$

(1 - i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Zamenjujemo rezultat u stepen:

(-2i)^{2k+1} = (-2)^{2k+1} \cdot i^{2k+1}

Rastavljamo stepen imaginarne jedinice $i^{2k+1}$ na proizvod:

i^{2k+1} = i^{2k} \cdot i = (i^2)^k \cdot i = (-1)^k \cdot i

Konačan izraz glasi:

(-2)^{2k+1} \cdot (-1)^k \cdot i

Dobijeni izraz je oblika $b \cdot i ,$ gde je $b = (-2)^{2k+1} \cdot (-1)^k$ realan broj različit od nule. To znači da je broj čisto imaginaran, čime je i drugi deo tvrđenja dokazan.

(1 - i)^{4k+2} \in i\mathbb{R}

Započni učenje

Privatni časovi

111

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci