1398.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Za svaki prirodan broj k k je (1+i)4k (1 + i)^{4k} realan, a (1−i)4k+2 (1 - i)^{4k+2} čisto imaginaran broj. Dokazati.

k∈Nk \in \mathbb{N}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo ispitati izraz (1+i)4k. (1 + i)^{4k} . Koristeći pravila stepenovanja, izraz možemo transformisati tako da prvo izračunamo kvadrat binoma.

(1+i)4k=((1+i)2)2k(1 + i)^{4k} = ((1 + i)^2)^{2k}

Računamo kvadrat binoma (1+i)2: (1 + i)^2 :

(1+i)2=12+2i+i2=1+2i−1=2i(1 + i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Sada zamenjujemo dobijeni rezultat u početni izraz i ponovo primenjujemo pravilo stepenovanja proizvoda (ab)n=anbn: (ab)^n = a^n b^n :

(2i)2k=22k⋅(i2)k(2i)^{2k} = 2^{2k} \cdot (i^2)^k

Znamo da je i2=−1, i^2 = -1 , pa dobijamo:

22k⋅(−1)k2^{2k} \cdot (-1)^k

Pošto su 22k 2^{2k} i (−1)k (-1)^k realni brojevi za svako k∈N, k \in \mathbb{N} , njihov proizvod je realan broj. Time je prvi deo tvrđenja dokazan.

(1+i)4k∈R(1 + i)^{4k} \in \mathbb{R}

Sada ispitujemo izraz (1−i)4k+2. (1 - i)^{4k+2} . Transformišemo ga na sličan način:

(1−i)4k+2=((1−i)2)2k+1(1 - i)^{4k+2} = ((1 - i)^2)^{2k+1}

Računamo kvadrat binoma (1−i)2: (1 - i)^2 :

(1−i)2=12−2i+i2=1−2i−1=−2i(1 - i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i

Zamenjujemo rezultat u stepen:

(−2i)2k+1=(−2)2k+1⋅i2k+1(-2i)^{2k+1} = (-2)^{2k+1} \cdot i^{2k+1}

Rastavljamo stepen imaginarne jedinice i2k+1 i^{2k+1} na proizvod:

i2k+1=i2k⋅i=(i2)k⋅i=(−1)k⋅ii^{2k+1} = i^{2k} \cdot i = (i^2)^k \cdot i = (-1)^k \cdot i

Konačan izraz glasi:

(−2)2k+1⋅(−1)k⋅i(-2)^{2k+1} \cdot (-1)^k \cdot i

Dobijeni izraz je oblika b⋅i, b \cdot i , gde je b=(−2)2k+1⋅(−1)k b = (-2)^{2k+1} \cdot (-1)^k realan broj različit od nule. To znači da je broj čisto imaginaran, čime je i drugi deo tvrđenja dokazan.

(1−i)4k+2∈iR(1 - i)^{4k+2} \in i\mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti