Kada je (x - 2 - i) na kvadrat čisto imaginaran

Prvo ćemo zapisati izraz unutar zagrade u obliku $a + bi ,$ gde je $a$ realni deo, a $b$ imaginarni deo.

z = ((x - 2) - i)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 ,$ gde je $A = x - 2$ i $B = i .$

z = (x - 2)^2 - 2(x - 2)i + i^2

Znamo da je $i^2 = -1 .$ Zamenjujemo tu vrednost i grupišemo realne i imaginarne članove.

z = (x - 2)^2 - 2(x - 2)i - 1

Sređujemo izraz tako da jasno razdvojimo realni deo $\text{Re}(z)$ i imaginarni deo $\text{Im}(z) .$

z = \underbrace{( (x - 2)^2 - 1 )}_{\text{Re}(z)} + \underbrace{( -2(x - 2) )}_{\text{Im}(z)}i

Da bi kompleksan broj bio čisto imaginaran, njegov realni deo mora biti jednak nuli, dok imaginarni deo mora biti različit od nule.

\text{Re}(z) = 0 \quad \text{i} \quad \text{Im}(z) \neq 0

Postavljamo i rešavamo jednačinu za realni deo:

(x - 2)^2 - 1 = 0

Računamo vrednosti za $x :$

(x - 2)^2 = 1 \implies x - 2 = 1 \quad \text{ili} \quad x - 2 = -1

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = 3, \quad x_2 = 1

Proveravamo da li je za ove vrednosti imaginarni deo $\text{Im}(z) = -2(x - 2)$ različit od nule.

\begin{cases} x = 3 \implies \text{Im}(z) = -2(3 - 2) = -2 \neq 0 \\ x = 1 \implies \text{Im}(z) = -2(1 - 2) = 2 \neq 0 \end{cases}

Zaključujemo da su tražene realne vrednosti $x :$

x \in \{1, 3\}

110