PrethodniSledeći
1397.

110

TEKST ZADATKA

Naći realne vrednosti x x za koje je broj (x−2−i)2 (x - 2 - i)^2 čisto imaginaran.

z=(x−2−i)2,x∈Rz = (x - 2 - i)^2, \quad x \in \mathbb{R}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo zapisati izraz unutar zagrade u obliku a+bi, a + bi , gde je a a realni deo, a b b imaginarni deo.

z=((x−2)−i)2z = ((x - 2) - i)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma (A−B)2=A2−2AB+B2, (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 , gde je A=x−2 A = x - 2 i B=i. B = i .

z=(x−2)2−2(x−2)i+i2z = (x - 2)^2 - 2(x - 2)i + i^2

Znamo da je i2=−1. i^2 = -1 . Zamenjujemo tu vrednost i grupišemo realne i imaginarne članove.

z=(x−2)2−2(x−2)i−1z = (x - 2)^2 - 2(x - 2)i - 1

Sređujemo izraz tako da jasno razdvojimo realni deo Re(z) \text{Re}(z) i imaginarni deo Im(z). \text{Im}(z) .

z=((x−2)2−1)⏟Re(z)+(−2(x−2))⏟Im(z)iz = \underbrace{( (x - 2)^2 - 1 )}_{\text{Re}(z)} + \underbrace{( -2(x - 2) )}_{\text{Im}(z)}i

Da bi kompleksan broj bio čisto imaginaran, njegov realni deo mora biti jednak nuli, dok imaginarni deo mora biti različit od nule.

Re(z)=0iIm(z)≠0\text{Re}(z) = 0 \quad \text{i} \quad \text{Im}(z) \neq 0

Postavljamo i rešavamo jednačinu za realni deo:

(x−2)2−1=0(x - 2)^2 - 1 = 0

Računamo vrednosti za x: x :

(x−2)2=1  ⟹  x−2=1ilix−2=−1(x - 2)^2 = 1 \implies x - 2 = 1 \quad \text{ili} \quad x - 2 = -1

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x1=3,x2=1x_1 = 3, \quad x_2 = 1

Proveravamo da li je za ove vrednosti imaginarni deo Im(z)=−2(x−2) \text{Im}(z) = -2(x - 2) različit od nule.

{x=3  ⟹  Im(z)=−2(3−2)=−2≠0x=1  ⟹  Im(z)=−2(1−2)=2≠0\begin{cases} x = 3 \implies \text{Im}(z) = -2(3 - 2) = -2 \neq 0 \\ x = 1 \implies \text{Im}(z) = -2(1 - 2) = 2 \neq 0 \end{cases}

Zaključujemo da su tražene realne vrednosti x: x :

x∈{1,3}x \in \{1, 3\}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu