1396.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Ako su a+ib, a + ib , c+id c + id (a, a , b, b , c, c , d d realni brojevi, i i imaginarna jedinica) rešenja jednačine z2=−15−8i, z^2 = -15 - 8i , izračunati abcd. abcd .

z2=−15−8iz^2 = -15 - 8i
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo da je rešenje oblika z=x+iy. z = x + iy . Tada jednačinu možemo zapisati kao kvadrat binoma:

(x+iy)2=−15−8i(x + iy)^2 = -15 - 8i

Kvadriramo levu stranu koristeći formulu za kvadrat binoma, uzimajući u obzir da je i2=−1,: i^2 = -1, :

x2+2ixy−y2=−15−8ix^2 + 2ixy - y^2 = -15 - 8i

Izjednačavamo realne i imaginarne delove sa obe strane jednačine kako bismo dobili sistem jednačina:

{x2−y2=−152xy=−8\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ 2xy = -8 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo y y preko x: x :

y=−82x=−4xy = \frac{-8}{2x} = -\frac{4}{x}

Zamenjujemo y y u prvu jednačinu:

x2−(−4x)2=−15  ⟹  x2−16x2=−15x^2 - \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = -15 \implies x^2 - \frac{16}{x^2} = -15

Množimo celu jednačinu sa x2 x^2 i uvodimo smenu t=x2 t = x^2 (gde je t>0 t > 0 jer je x x realan broj):

t2+15t−16=0t^2 + 15t - 16 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po t. t . Rešenja su t1=1 t_1 = 1 i t2=−16. t_2 = -16 . Pošto je x x realan broj, uzimamo samo pozitivno rešenje:

x2=1  ⟹  x1=1,x2=−1x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1

Računamo pripadajuće vrednosti za y y koristeći y=−4/x: y = -4/x :

Za x1=1  ⟹  y1=−4;Za x2=−1  ⟹  y2=4\text{Za } x_1 = 1 \implies y_1 = -4; \quad \text{Za } x_2 = -1 \implies y_2 = 4

Identifikujemo koeficijente a,b,c,d a, b, c, d iz rešenja z1=1−4i z_1 = 1 - 4i i z2=−1+4i: z_2 = -1 + 4i :

a=1,b=−4,c=−1,d=4a = 1, b = -4, c = -1, d = 4

Konačno, računamo traženi proizvod abcd: abcd :

abcd=1⋅(−4)⋅(−1)⋅4=16abcd = 1 \cdot (-4) \cdot (-1) \cdot 4 = 16

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti