Koren iz -15 - 8i i proizvod abcd

Pretpostavimo da je rešenje oblika $z = x + iy .$ Tada jednačinu možemo zapisati kao kvadrat binoma:

(x + iy)^2 = -15 - 8i

Kvadriramo levu stranu koristeći formulu za kvadrat binoma, uzimajući u obzir da je $i^2 = -1, :$

x^2 + 2ixy - y^2 = -15 - 8i

Izjednačavamo realne i imaginarne delove sa obe strane jednačine kako bismo dobili sistem jednačina:

\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ 2xy = -8 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $y$ preko $x :$

y = \frac{-8}{2x} = -\frac{4}{x}

Zamenjujemo $y$ u prvu jednačinu:

x^2 - \left(-\frac{4}{x}\right)^2 = -15 \implies x^2 - \frac{16}{x^2} = -15

Množimo celu jednačinu sa $x^2$ i uvodimo smenu $t = x^2$ (gde je $t > 0$ jer je $x$ realan broj):

t^2 + 15t - 16 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$ Rešenja su $t_1 = 1$ i $t_2 = -16 .$ Pošto je $x$ realan broj, uzimamo samo pozitivno rešenje:

x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1

Računamo pripadajuće vrednosti za $y$ koristeći $y = -4/x :$

\text{Za } x_1 = 1 \implies y_1 = -4; \quad \text{Za } x_2 = -1 \implies y_2 = 4

Identifikujemo koeficijente $a, b, c, d$ iz rešenja $z_1 = 1 - 4i$ i $z_2 = -1 + 4i :$

a = 1, b = -4, c = -1, d = 4

Konačno, računamo traženi proizvod $abcd :$

abcd = 1 \cdot (-4) \cdot (-1) \cdot 4 = 16

109