Kompleksni broj koji je konjugovan svom kvadratu

Primenjujemo modul na obe strane jednačine $\overline{z} = z^2$ kako bismo odredili moguće vrednosti modula kompleksnog broja $z .$ Koristimo osobinu da je $|\overline{z}| = |z|$ i pravilo za proizvod modula $|z^2| = |z|^2 .$

|z| = |z|^2 \implies |z|^2 - |z| = 0 \implies |z|(|z| - 1) = 0

Iz prethodne jednačine zaključujemo da su moguće vrednosti modula:

|z| = 0 \quad \text{ili} \quad |z| = 1

Ako je $|z| = 0 ,$ jedino rešenje je nula.

z_1 = 0

Ako je $|z| = 1 ,$ tada važi $z \cdot \overline{z} = |z|^2 = 1 ,$ odakle je $\overline{z} = \frac{1}{z} .$ Zamenom u polaznu jednačinu dobijamo:

\frac{1}{z} = z^2 \implies z^3 = 1

Rešavamo jednačinu $z^3 - 1 = 0$ rastavljanjem na činioce.

(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0

Prvo rešenje ove jednačine je:

z_2 = 1

Preostala dva rešenja dobijamo iz kvadratne jednačine $z^2 + z + 1 = 0 .$

z_{3,4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}

Konačan skup svih kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju uslov zadatka je:

z \in \left\{ 0, 1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

108

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci