1395.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Naći sve kompleksne brojeve z=x+iy z = x + iy (x,y∈R x, y \in \mathbf{R} ) koji su konjugovani svom kvadratu (tj. za koje važi jednakost z‾=z2 \overline{z} = z^2 ).

z‾=z2\overline{z} = z^2
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo modul na obe strane jednačine z‾=z2 \overline{z} = z^2 kako bismo odredili moguće vrednosti modula kompleksnog broja z. z . Koristimo osobinu da je ∣z‾∣=∣z∣ |\overline{z}| = |z| i pravilo za proizvod modula ∣z2∣=∣z∣2. |z^2| = |z|^2 .

∣z∣=∣z∣2  ⟹  ∣z∣2−∣z∣=0  ⟹  ∣z∣(∣z∣−1)=0|z| = |z|^2 \implies |z|^2 - |z| = 0 \implies |z|(|z| - 1) = 0

Iz prethodne jednačine zaključujemo da su moguće vrednosti modula:

∣z∣=0ili∣z∣=1|z| = 0 \quad \text{ili} \quad |z| = 1

Ako je ∣z∣=0, |z| = 0 , jedino rešenje je nula.

z1=0z_1 = 0

Ako je ∣z∣=1, |z| = 1 , tada važi z⋅z‾=∣z∣2=1, z \cdot \overline{z} = |z|^2 = 1 , odakle je z‾=1z. \overline{z} = \frac{1}{z} . Zamenom u polaznu jednačinu dobijamo:

1z=z2  ⟹  z3=1\frac{1}{z} = z^2 \implies z^3 = 1

Rešavamo jednačinu z3−1=0 z^3 - 1 = 0 rastavljanjem na činioce.

(z−1)(z2+z+1)=0(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0

Prvo rešenje ove jednačine je:

z2=1z_2 = 1

Preostala dva rešenja dobijamo iz kvadratne jednačine z2+z+1=0. z^2 + z + 1 = 0 .

z3,4=−1±i32z_{3,4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}

Konačan skup svih kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju uslov zadatka je:

z∈{0,1,−12+i32,−12−i32}z \in \left\{ 0, 1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti