Jednaki moduli brojeva z, 1/z i 1 - z

Prvo analiziramo uslov |z| = |1/z|. Prema osobini modula količnika, sledi:

|z| = \frac{1}{|z|} \implies |z|^2 = 1 \implies |z| = 1

Zatim koristimo drugi deo uslova, |z| = |1 - z|. Kako smo već odredili da je |z| = 1, dobijamo:

|1 - z| = 1

Uvodimo algebarski oblik z = x + iy. Iz uslova |z| = 1, primenom definicije modula kompleksnog broja, dobijamo prvu jednačinu:

\sqrt{x^2 + y^2} = 1 \implies x^2 + y^2 = 1

Sada primenjujemo definiciju modula na izraz |1 - z|. Realni deo broja 1 - (x + iy) je (1 - x), a imaginarni je -y:

|(1 - x) - iy| = \sqrt{(1 - x)^2 + (-y)^2}

Izjednačavamo dobijeni izraz sa 1 (jer je |1 - z| = 1) i kvadriramo jednačinu kako bismo uklonili koren:

\sqrt{(1 - x)^2 + y^2} = 1 \implies (1 - x)^2 + y^2 = 1

Razvijamo kvadrat binoma u dobijenoj jednačini:

1 - 2x + x^2 + y^2 = 1

Zamenjujemo x² + y² = 1 u prethodni izraz i rešavamo po x:

1 - 2x + 1 = 1 \implies 2 - 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}

Vrednost y određujemo iz jednačine x² + y² = 1:

\left(\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1 \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Konačna rešenja su kompleksni brojevi:

z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}

107