1417.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Odrediti realne vrednosti x x i y y za koje su kompleksni brojevi z1=8x2−20i9 z_1 = 8x^2 - 20i^9 i z2=9x2−4+10yi3 z_2 = 9x^2 - 4 + 10yi^3 konjugovano kompleksni.

z1=z2ˉz_1 = \bar{z_2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo uprošćavamo stepene imaginarne jedinice i i koristeći periodičnost i4=1. i^4 = 1 .

i9=i8+1=(i4)2⋅i=12⋅i=ii3=−ii^9 = i^{8+1} = (i^4)^2 \cdot i = 1^2 \cdot i = i \\ i^3 = -i

Sada zapisujemo kompleksne brojeve z1 z_1 i z2 z_2 u standardnom obliku a+bi. a + bi .

z1=8x2−20iz2=(9x2−4)−10yiz_1 = 8x^2 - 20i \\ z_2 = (9x^2 - 4) - 10yi

Da bi brojevi bili konjugovano kompleksni, njihovi realni delovi moraju biti jednaki, a imaginarni delovi suprotnog znaka.

Re(z1)=Re(z2)iIm(z1)=−Im(z2)Re(z_1) = Re(z_2) \quad \text{i} \quad Im(z_1) = -Im(z_2)

Formiramo sistem jednačina na osnovu realnih i imaginarnih delova.

{8x2=9x2−4−20=−(−10y)\begin{cases} 8x^2 = 9x^2 - 4 \\ -20 = -(-10y) \end{cases}

Rešavamo prvu jednačinu po x. x .

8x2−9x2=−4  ⟹  −x2=−4  ⟹  x2=4  ⟹  x=±28x^2 - 9x^2 = -4 \implies -x^2 = -4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2

Rešavamo drugu jednačinu po y. y .

−20=10y  ⟹  y=−2010  ⟹  y=−2-20 = 10y \implies y = -\frac{20}{10} \implies y = -2

Konačna rešenja za realne vrednosti x x i y y su:

x∈{−2,2},y=−2x \in \{-2, 2\}, \quad y = -2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti