1418.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dati su kompleksni brojevi z1=3+2i, z_1 = 3 + 2i , z2=2+i. z_2 = 2 + i . Odrediti kompleksan broj z=x+iy, z = x + iy , ako je:

Re(zz2)=35,Im(zz1‾)=−1{\text{Re}\left(\frac{z}{z_2}\right) = \frac{3}{5}}, \quad {\text{Im}(z\overline{z_1}) = -1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo srediti prvi izraz Re(zz2)=35. \text{Re}\left(\frac{z}{z_2}\right) = \frac{3}{5} . Delimo kompleksne brojeve tako što pomnožimo i brojilac i imenilac konjugovano-kompleksnim brojem imenioca z2‾=2−i. \overline{z_2} = 2 - i .

x+iy2+i⋅2−i2−i=2x−xi+2iy−iy222+12=(2x+y)+i(2y−x)5\frac{x+iy}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i} = \frac{2x - xi + 2iy - iy^2}{2^2 + 1^2} = \frac{(2x+y) + i(2y-x)}{5}

Izdvajamo realni deo dobijenog količnika i izjednačavamo ga sa datom vrednošću 35. \frac{3}{5} .

2x+y5=35  ⟹  2x+y=3\frac{2x+y}{5} = \frac{3}{5} \implies 2x + y = 3

Sada sređujemo drugi izraz Im(zz1‾)=−1. \text{Im}(z\overline{z_1}) = -1 . Znamo da je z1‾=3−2i, \overline{z_1} = 3 - 2i , pa računamo proizvod.

zz1‾=(x+iy)(3−2i)=3x−2xi+3iy−2iy2=(3x+2y)+i(3y−2x)z\overline{z_1} = (x+iy)(3-2i) = 3x - 2xi + 3iy - 2iy^2 = (3x+2y) + i(3y-2x)

Izdvajamo imaginarni deo proizvoda i izjednačavamo ga sa −1. -1 .

3y−2x=−1  ⟹  −2x+3y=−13y - 2x = -1 \implies -2x + 3y = -1

Formiramo i rešavamo sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate.

{2x+y=3−2x+3y=−1\begin{cases} 2x + y = 3 \\ -2x + 3y = -1 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine eliminišemo x. x .

4y=2  ⟹  y=124y = 2 \implies y = \frac{1}{2}

Zamenom vrednosti y y u prvu jednačinu računamo x. x .

2x+12=3  ⟹  2x=52  ⟹  x=542x + \frac{1}{2} = 3 \implies 2x = \frac{5}{2} \implies x = \frac{5}{4}

Konačno rešenje za kompleksan broj z z je:

z=54+12iz = \frac{5}{4} + \frac{1}{2}i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti