1419. Kompleksni brojevi

Prvo odredimo konjugovano kompleksni broj $\overline{z_1}$ i postavimo izraz za $z\overline{z_1} .$

z = x + iy, \quad \overline{z_1} = 3 - 2i \\ z\overline{z_1} = (x + iy)(3 - 2i) = 3x - 2xi + 3iy - 2iy^2

Sredimo izraz koristeći $i^2 = -1$ i izdvojimo realni deo.

z\overline{z_1} = (3x + 2y) + i(3y - 2x) \\ \text{Re}(z\overline{z_1}) = 3x + 2y

Iz uslova $\text{Re}(z\overline{z_1}) = -1$ dobijamo prvu jednačinu:

3x + 2y = -1

Sada računamo količnik $\frac{z}{z_2}$ množenjem brojioca i imenioca konjugovanim brojem $\overline{z_2} = 2 - i .$

\frac{z}{z_2} = \frac{x + iy}{2 + i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i} = \frac{2x - xi + 2iy - iy^2}{4 - i^2}

Sredimo količnik i izdvojimo imaginarni deo.

\frac{z}{z_2} = \frac{(2x + y) + i(2y - x)}{5} = \frac{2x + y}{5} + i\frac{2y - x}{5}

Iz uslova $\text{Im}\left(\frac{z}{z_2}\right) = \frac{3}{5}$ dobijamo drugu jednačinu:

\frac{2y - x}{5} = \frac{3}{5} \implies 2y - x = 3

Rešavamo sistem dve jednačine sa dve nepoznate:

\begin{cases} 3x + 2y = -1 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}

Oduzimanjem druge jednačine od prve eliminišemo $y :$

(3x + 2y) - (-x + 2y) = -1 - 3 \\ 4x = -4 \implies x = -1

Zamenom $x = -1$ u drugu jednačinu računamo $y :$

2y - (-1) = 3 \\ 2y + 1 = 3 \\ 2y = 2 \implies y = 1

Konačno rešenje za kompleksan broj $z$ je:

z = -1 + i

1419.Kompleksni brojevi