Treći koren kao kub binoma: ∛(26 − 15√3)

Prvo ćemo analizirati izraz pod trećim korenom $\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} .$ Pokušaćemo da izraz $26-15\sqrt{3}$ zapišemo kao potpun kub oblika $(a-b\sqrt{3})^3 .$

26-15\sqrt{3} = (a-b\sqrt{3})^3

Razvijamo desnu stranu koristeći formulu za kub razlike:

(a-b\sqrt{3})^3 = a^3 - 3a^2b\sqrt{3} + 3a(b\sqrt{3})^2 - (b\sqrt{3})^3

Sređivanjem izraza dobijamo:

a^3 - 3a^2b\sqrt{3} + 9ab^2 - 3b^3\sqrt{3} = (a^3 + 9ab^2) - (3a^2b + 3b^3)\sqrt{3}

Poređenjem sa $26-15\sqrt{3} ,$ pretpostavljamo da su $a$ i $b$ celi brojevi. Proveravamo za $a=2$ i $b=1 :$

(2-\sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3

Računamo vrednost dobijenog izraza:

8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3} = 26 - 15\sqrt{3}

Sada kada smo utvrdili da je $\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3} ,$ zamenjujemo to u početni izraz na levoj strani:

(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = (2-\sqrt{3})^2

Kvadriramo dobijeni binom:

2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3

Sabiranjem racionalnih delova dobijamo konačan rezultat koji odgovara desnoj strani jednakosti:

7 - 4\sqrt{3}

Započni učenje

Online časovi

42.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci