Treći koren kao kub binoma: ∛(7 + 5√2)

Prvo ćemo pojednostaviti izraz pod trećim korenom $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} .$ Primetićemo da se on može zapisati kao kub binoma.

7 + 5\sqrt{2} = 1 + 3\sqrt{2} + 3(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = (1+\sqrt{2})^3

Sada primenjujemo treći koren na dobijeni izraz:

\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^3} = 1+\sqrt{2}

Sledeći korak je pojednostavljivanje izraza pod kvadratnim korenom $\sqrt{3-2\sqrt{2}} .$ Ovaj izraz prepoznajemo kao kvadrat binoma.

3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2}-1)^2

Korenujemo kvadrat binoma, pazeći na to da je rezultat pozitivan broj:

\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1

Zamenjujemo uprošćene vrednosti u početni izraz na levoj strani jednakosti:

((1+\sqrt{2}) - (\sqrt{2}-1)) \cdot (1+\sqrt{2})

Sređujemo izraz unutar prve zagrade:

(1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1) \cdot (1+\sqrt{2}) = 2 \cdot (1+\sqrt{2})

Dobijeni rezultat odgovara desnoj strani polazne jednakosti, čime je dokaz završen.

2(1+\sqrt{2}) = 2(1+\sqrt{2})

42.g