1116. Korenovanje | Balkan Tutor

REŠENJE ZADATKA

Da bismo uprostili zadati izraz, pokušaćemo da potkorenu veličinu zapišemo kao kvadrat trinoma. Podsetimo se formule za kvadrat trinoma:

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

Uporedimo potkoreni izraz sa formulom. Pretpostavićemo da se iracionalni sabirci poklapaju sa dvostrukim proizvodima:

2ab = \sqrt{6}, \quad 2ac = 2\sqrt{3}, \quad 2bc = \sqrt{2}

Iz jednačine $2ac = 2\sqrt{3}$ možemo pretpostaviti da je $a = \sqrt{3}$ i $c = 1 .$

Zamenom $c = 1$ u jednačinu $2bc = \sqrt{2} ,$ dobijamo vrednost za $b :$

2 \cdot b \cdot 1 = \sqrt{2} \implies b = \frac{\sqrt{2}}{2}

Proverimo da li ove vrednosti zadovoljavaju i prvu jednačinu $2ab = \sqrt{6} :$

2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}

Kako je jednakost tačna, potvrdili smo naš izbor vrednosti. Sada računamo zbir kvadrata $a^2 + b^2 + c^2$ da bismo proverili da li se poklapa sa slobodnim članom $\frac{9}{2}$ u potkorenom izrazu.

a^2 + b^2 + c^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1^2

Sređivanjem dobijamo vrednost koja se tačno poklapa sa slobodnim članom u zadatku:

3 + \frac{2}{4} + 1 = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

Zato potkoreni izraz možemo zapisati kao kvadrat trinoma:

\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{2}+\frac{9}{2} = \left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)^2

Vraćamo ovaj oblik u početni izraz:

\sqrt{\left(\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)^2}

Kako je izraz unutar zagrade pozitivan, koren i kvadrat se poništavaju, čime dobijamo konačno rešenje:

\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1

43.a