Koren kvadrata trinoma: √(3,75 + √3 + √6 + 2√2)

Pretvorićemo decimalni broj u razlomak kako bismo lakše uočili strukturu izraza ispod korena.

3,75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}

Sada izraz pod korenom možemo zapisati u novom obliku.

\frac{15}{4} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2}

Pokušaćemo da izraz pod korenom predstavimo kao kvadrat trinoma oblika $(x+y+z)^2 .$ Znamo da važi formula:

(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

Upoređivanjem dobijamo sistem jednačina za dvostruke proizvode. Pretpostavićemo da su to sabirci sa korenima:

\begin{cases} 2xy = \sqrt{3} \\ 2xz = \sqrt{6} \\ 2yz = 2\sqrt{2} \end{cases}

Pomnožimo sve tri jednačine međusobno kako bismo našli vrednost proizvoda $xyz$ na kvadrat.

(2xy)(2xz)(2yz) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2}

Računamo proizvod na desnoj strani:

8x^2y^2z^2 = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12

Deljenjem sa 8 dolazimo do vrednosti kvadrata proizvoda svih promenljivih:

x^2y^2z^2 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

Sada računamo kvadrate pojedinačnih promenljivih. Kvadriramo prvu jednačinu iz sistema i dobijamo $4x^2y^2 = 3 ,$ pa iz toga tražimo $z^2 :$

z^2 = \frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} = 2 \implies z = \sqrt{2}

Iz druge jednačine, kvadriranjem dobijamo $4x^2z^2 = 6 ,$ pa tražimo $y^2 :$

y^2 = \frac{x^2y^2z^2}{x^2z^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{4}} = 1 \implies y = 1

Iz treće jednačine, kvadriranjem dobijamo $4y^2z^2 = 8 ,$ pa tražimo $x^2 :$

x^2 = \frac{x^2y^2z^2}{y^2z^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{8}{4}} = \frac{3}{4} \implies x = \frac{\sqrt{3}}{2}

Proveravamo da li zbir kvadrata $x^2 + y^2 + z^2$ odgovara prvom članu pod korenom ( $\frac{15}{4}$ ):

x^2 + y^2 + z^2 = \frac{3}{4} + 1 + 2 = \frac{3}{4} + \frac{12}{4} = \frac{15}{4}

Pošto se vrednosti poklapaju, izraz pod korenom je savršen kvadrat trinoma:

\frac{15}{4} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{2}\right)^2

Zamenom u početni izraz, s obzirom na to da su svi sabirci pozitivni, koren i kvadrat se poništavaju, čime dobijamo konačno rešenje:

\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{2}

43.đ