1075.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Primenom identiteta za kvadrat binoma pod korenom, odrediti vrednost izraza:

7±43\sqrt{7 \pm 4\sqrt{3}}
REŠENJE ZADATKA

Izraz pod korenom 7±43 7 \pm 4\sqrt{3} pokušavamo da zapišemo kao kvadrat binoma oblika (a±b)2=a2±2ab+b2. (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 .

Analiziramo mešoviti član 2ab. 2ab . U našem slučaju to je 43. 4\sqrt{3} . Delimo ga sa 2 kako bismo dobili proizvod ab: ab :

2ab=43  ⟹  ab=232ab = 4\sqrt{3} \implies ab = 2\sqrt{3}

Biramo vrednosti za a a i b b tako da je njihov proizvod 23, 2\sqrt{3} , a zbir njihovih kvadrata a2+b2=7. a^2 + b^2 = 7 . Uzmimo a=2 a = 2 i b=3. b = \sqrt{3} .

a2+b2=22+(3)2=4+3=7a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7

Sada izraz pod korenom transformišemo u kvadrat binoma:

7±43=22±2⋅2⋅3+(3)2=(2±3)27 \pm 4\sqrt{3} = 2^2 \pm 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 \pm \sqrt{3})^2

Vraćamo dobijeni binom u početni izraz i primenjujemo pravilo x2=∣x∣: \sqrt{x^2} = |x| :

(2±3)2=∣2±3∣\sqrt{(2 \pm \sqrt{3})^2} = |2 \pm \sqrt{3}|

Pošto su i 2+3 2 + \sqrt{3} i 2−3 2 - \sqrt{3} pozitivni brojevi (jer je 2>3 2 > \sqrt{3} ), apsolutna zagrada se može ukloniti. Konačna rešenja su:

7+43=2+3i7−43=2−3\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \quad \text{i} \quad \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti