1075. Korenovanje | Balkan Tutor

REŠENJE ZADATKA

Izraz pod korenom $7 \pm 4\sqrt{3}$ pokušavamo da zapišemo kao kvadrat binoma oblika $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 .$

Analiziramo mešoviti član $2ab .$ U našem slučaju to je $4\sqrt{3} .$ Delimo ga sa 2 kako bismo dobili proizvod $ab :$

2ab = 4\sqrt{3} \implies ab = 2\sqrt{3}

Biramo vrednosti za $a$ i $b$ tako da je njihov proizvod $2\sqrt{3} ,$ a zbir njihovih kvadrata $a^2 + b^2 = 7 .$ Uzmimo $a = 2$ i $b = \sqrt{3} .$

a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7

Sada izraz pod korenom transformišemo u kvadrat binoma:

7 \pm 4\sqrt{3} = 2^2 \pm 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 \pm \sqrt{3})^2

Vraćamo dobijeni binom u početni izraz i primenjujemo pravilo $\sqrt{x^2} = |x| :$

\sqrt{(2 \pm \sqrt{3})^2} = |2 \pm \sqrt{3}|

Pošto su i $2 + \sqrt{3}$ i $2 - \sqrt{3}$ pozitivni brojevi (jer je $2 > \sqrt{3}$ ), apsolutna zagrada se može ukloniti. Konačna rešenja su:

\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \quad \text{i} \quad \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}

27.g