Treći koren kao kub binoma: ∛(3 + 9∛12 − 9∛18)

Ideja je da potkoreni izraz napišemo u obliku kuba binoma, odnosno da ga svedemo na oblik $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 .$

3 + 9\sqrt[3]{12} - 9\sqrt[3]{18}

Pretpostavimo da potkoreni izraz možemo zapisati kao $(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})^3 .$ Razvojem ovog binoma i grupisanjem članova dobijamo:

(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})^3 = (x - y) + 3\sqrt[3]{xy^2} - 3\sqrt[3]{x^2y}

Upoređivanjem ovog razvoja sa zadatim izrazom, možemo postaviti sistem jednačina:

\begin{cases} x - y = 3 \\ 3\sqrt[3]{xy^2} = 9\sqrt[3]{12} \\ -3\sqrt[3]{x^2y} = -9\sqrt[3]{18} \end{cases}

Sređujemo drugu i treću jednačinu tako što ih podelimo sa 3, odnosno -3:

\begin{cases} \sqrt[3]{xy^2} = 3\sqrt[3]{12} \\ \sqrt[3]{x^2y} = 3\sqrt[3]{18} \end{cases}

Unosimo broj 3 pod treći koren ( $3 = \sqrt[3]{27}$ ) kako bismo izjednačili potkorene veličine:

\begin{cases} \sqrt[3]{xy^2} = \sqrt[3]{27 \cdot 12} = \sqrt[3]{324} \\ \sqrt[3]{x^2y} = \sqrt[3]{27 \cdot 18} = \sqrt[3]{486} \end{cases}

Na osnovu sređenih korena formiramo nov, uprošćen sistem jednačina:

\begin{cases} x - y = 3 \\ xy^2 = 324 \\ x^2y = 486 \end{cases}

Deljenjem treće jednačine sa drugom, računamo odnos nepoznatih $x$ i $y :$

\frac{x^2y}{xy^2} = \frac{486}{324} \implies \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y

Zamenjujemo dobijeni izraz za $x$ u prvu jednačinu sistema $x - y = 3 :$

\frac{3}{2}y - y = 3 \implies \frac{1}{2}y = 3 \implies y = 6

Kada smo našli $y ,$ lako računamo vrednost za $x :$

x = 3 + 6 = 9

Proveravamo da li dobijene vrednosti zadovoljavaju proizvode: $xy^2 = 9 \cdot 36 = 324$ i $x^2y = 81 \cdot 6 = 486 .$ Pošto su uslovi ispunjeni, potkoreni izraz možemo zapisati kao kub binoma:

3 + 9\sqrt[3]{12} - 9\sqrt[3]{18} = (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6})^3

Vraćamo se na početni zadatak. Treći koren i treći stepen se poništavaju, čime dobijamo konačno rešenje:

\sqrt[3]{(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6})^3} = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}

Započni učenje

Online časovi

43.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci