Treći koren kao kub binoma: ∛(10 + 6√3)

Prvo ćemo transformisati brojilac levog dela izraza. Primetimo da se izraz $4+2\sqrt{3}$ može zapisati kao kvadrat binoma.

4+2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2

Sada ćemo transformisati izraz pod trećim korenom u imeniocu, $10+6\sqrt{3} ,$ pokušavajući da ga zapišemo kao kub binoma oblika $(a+b)^3 .$

10+6\sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3

Na osnovu formule za kub zbira $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ,$ zaključujemo sledeće:

10+6\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^3

Zamenjujemo dobijene transformacije nazad u početni razlomak na levoj strani jednakosti.

\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3}}

Računamo vrednost imenioca koristeći osobinu $\sqrt[3]{x^3} = x .$

\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3} = 1+\sqrt{3}

Sada skraćujemo razlomak deljenjem brojioca i imenioca istim izrazom.

\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}+1

Dobijeni rezultat odgovara desnoj strani početne jednakosti, čime je dokaz završen.

\sqrt{3}+1 = \sqrt{3}+1

42.v