1114.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati da je vrednost datog izraza jednaka desnoj strani jednakosti:

4+2310+633=3+1\frac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}} = \sqrt{3}+1
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati brojilac levog dela izraza. Primetimo da se izraz 4+23 4+2\sqrt{3} može zapisati kao kvadrat binoma.

4+23=3+23+1=(3)2+23⋅1+12=(3+1)24+2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2

Sada ćemo transformisati izraz pod trećim korenom u imeniocu, 10+63, 10+6\sqrt{3} , pokušavajući da ga zapišemo kao kub binoma oblika (a+b)3. (a+b)^3 .

10+63=1+33+9+33=13+3⋅12⋅3+3⋅1⋅(3)2+(3)310+6\sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3

Na osnovu formule za kub zbira (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 , zaključujemo sledeće:

10+63=(1+3)310+6\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^3

Zamenjujemo dobijene transformacije nazad u početni razlomak na levoj strani jednakosti.

(3+1)2(1+3)33\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3}}

Računamo vrednost imenioca koristeći osobinu x33=x. \sqrt[3]{x^3} = x .

(1+3)33=1+3\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3} = 1+\sqrt{3}

Sada skraćujemo razlomak deljenjem brojioca i imenioca istim izrazom.

(3+1)23+1=3+1\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}+1

Dobijeni rezultat odgovara desnoj strani početne jednakosti, čime je dokaz završen.

3+1=3+1\sqrt{3}+1 = \sqrt{3}+1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti