Šesti i treći koren: izraz sa 9 + 4√5 i 2 ± √5

Prvo ćemo transformisati izraz unutar šestog korena $\sqrt[6]{9+4\sqrt{5}} .$ Primetimo da je potkorena veličina kvadrat binoma.

9 + 4\sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2

Provera kvadrata binoma:

2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}

Sada zamenjujemo ovaj rezultat u šesti koren i skraćujemo stepen i koren:

\sqrt[6]{(2+\sqrt{5})^2} = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}

Zamenjujemo uprošćeni koren u početni izraz $A :$

A = \left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}

Sabiramo dva identična člana unutar zagrade:

A = 2\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}

Koristimo pravilo za proizvod korena istog stepena $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} :$

A = 2\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}

Unutar korena prepoznajemo razliku kvadrata $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 :$

A = 2\sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{5})^2}

Računamo vrednost unutar korena:

A = 2\sqrt[3]{4 - 5} = 2\sqrt[3]{-1}

Pošto je $\sqrt[3]{-1} = -1 ,$ dobijamo konačno rešenje:

A = 2 \cdot (-1) = -2

41.a