Ugnježdeni koreni: 2√(3 + √(5 − √(13 + √48)))

Prvo uprošćavamo najdublji koren $\sqrt{48}$ izvlačenjem činioca ispred korena.

\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}

Sada posmatramo izraz pod sledećim korenom: $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} .$ Ovaj izraz možemo napisati kao kvadrat binoma.

13 + 4\sqrt{3} = 12 + 1 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = (2\sqrt{3} + 1)^2

Korenujemo kvadrat binoma, vodeći računa da je rezultat pozitivan:

\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2} = 2\sqrt{3} + 1

Zamenjujemo dobijenu vrednost nazad u početni izraz i računamo sledeći unutrašnji koren:

\sqrt{5 - (2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}

Izraz $4 - 2\sqrt{3}$ takođe prepoznajemo kao kvadrat binoma.

4 - 2\sqrt{3} = 3 + 1 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 = (\sqrt{3} - 1)^2

Korenujemo dobijeni kvadrat binoma:

\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1

Vraćamo se na poslednji, spoljašnji koren i sređujemo izraz pod njim:

2\sqrt{3 + (\sqrt{3} - 1)} = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}

Da bismo rešili $\sqrt{2 + \sqrt{3}} ,$ možemo upotrebiti Lagranžov identitet ili transformisati izraz tako da dobijemo kvadrat binoma množenjem i deljenjem sa 2.

2\sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}}

Sređujemo izraz do konačnog rezultata vršeći racionalizaciju ako je potrebno:

2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} + \sqrt{2}

Započni učenje

Online časovi

40.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci