Jednakost √(3 − √5)(3 + √5)(√10 − √2) = 8

Prvo ćemo transformisati izraz u drugoj zagradi $(\sqrt{10} - \sqrt{2})$ izvlačenjem zajedničkog faktora $\sqrt{2} .$

\sqrt{10} - \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)

Sada uvrštavamo ovaj rezultat u početni izraz i menjamo redosled činilaca radi lakšeg grupisanja.

\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - 1) \cdot (3 + \sqrt{5})

Unosimo broj $\sqrt{2}$ pod prvi koren kako bismo uprostili potkorenu veličinu.

\sqrt{2(3 - \sqrt{5})} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}

Primetimo da je izraz $6 - 2\sqrt{5}$ zapravo kvadrat binoma $(\sqrt{5} - 1)^2 .$

(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}

Zamenjujemo koren kvadratom binoma. Pošto je $\sqrt{5} - 1 > 0 ,$ koren i kvadrat se direktno skraćuju.

\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1

Sada ceo izraz postaje proizvod dva ista binoma i poslednje zagrade.

(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 1)(3 + \sqrt{5}) = (\sqrt{5} - 1)^2 (3 + \sqrt{5})

Već smo računali da je $(\sqrt{5} - 1)^2 = 6 - 2\sqrt{5} .$ Uvrštavamo to nazad i množimo sa poslednjim članom.

(6 - 2\sqrt{5})(3 + \sqrt{5})

Iz prve zagrade izvlačimo zajednički faktor 2.

2(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})

Preostali deo izraza je razlika kvadrata $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .$

2(3^2 - (\sqrt{5})^2) = 2(9 - 5) = 2 \cdot 4 = 8

Ovim smo dokazali da je polazni izraz jednak 8.

8 = 8

48.b